Question

20．已知△ABC的三个内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，若a²-a-$\sqrt{3}$b-$\sqrt{3}$c=0，a+$\sqrt{3}$b-$\sqrt{3}$c+2=0，则△ABC中最大角的余弦值为-$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 分别将两式相加减得出a与b，a与c的关系，使用作差法判断最大边，利用余弦定理解出cosC．

解答 解：∵a²-a-$\sqrt{3}$b-$\sqrt{3}$c=0，a+$\sqrt{3}$b-$\sqrt{3}$c+2=0，
两式相加得：a²-2$\sqrt{3}c$+2=0，∴c=$\frac{{a}^{2}+2}{2\sqrt{3}}$．
两式相减得：a²-2a-2$\sqrt{3}b$-2=0，∴b=$\frac{{a}^{2}-2a-2}{2\sqrt{3}}$．
显然c＞b．
由b=$\frac{{a}^{2}-2a-2}{2\sqrt{3}}$＞0得a²-2a-2＞0，解得a＞1+$\sqrt{3}$或a$＜1-\sqrt{3}$（舍）．
∴c-a=$\frac{{a}^{2}+2}{2\sqrt{3}}$-a=$\frac{（a-\sqrt{3}）^{2}-1}{2\sqrt{3}}$＞0．
∴c＞a．
∴△ABC中，C为最大角．
∴cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{{a}^{2}+（\frac{{a}^{2}-2a-2}{2\sqrt{3}}）^{2}-（\frac{{a}^{2}+2}{2\sqrt{3}}）^{2}}{2a•\frac{{a}^{2}-2a-2}{2\sqrt{3}}}$=$\frac{\frac{-{a}^{3}+2{a}^{2}+2a}{3}}{\frac{{a}^{3}-2{a}^{2}-2a}{\sqrt{3}}}$=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故答案为：-$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题主要考查余弦定理的应用，不等式的解法，根据正弦定理判断最大边为c是解题的关键，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．