Question

15．已知椭圆G：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的焦点和一个顶点在圆x²+y²=4上．
（1）求椭圆的方程；
（2）已知点P（-3，2），若斜率为1的直线l与椭圆G相交于A、B两点，试探讨以AB为底边的等腰三角形ABP是否存在？若存在，求出直线l的方程，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设椭圆G的右焦点为F（c，0），由题意可得：b=c，且b²+c²=8，由此能求出椭圆G的方程．
（Ⅱ）以AB为底的等腰三角形ABP存在．设斜率为1的直线l的方程为y=x+m，代入$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$中，得：3x²+4mx+2m²-8=0，由此利用根的判别式、韦达定理，结合已知条件能求出直线l的方程．

解答 解：（Ⅰ）设椭圆G的右焦点为F（c，0），
由题意可得：b=c，且b²+c²=8，∴b²=c²=4，
故a²=b²+c²=8，
∴椭圆G的方程为$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$（4分）
（Ⅱ）以AB为底的等腰三角形ABP存在．理由如下
设斜率为1的直线l的方程为y=x+m，代入$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$中，
化简得：3x²+4mx+2m²-8=0，①（6分）
因为直线l与椭圆G相交于A，B两点，
∴△=16m²-12（2m²-8）＞0，
解得-2$\sqrt{3}$$＜m＜2\sqrt{3}$，②（8分）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{4m}{3}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{2{m}^{2}-8}{3}$．③
于是AB的中点M（x₀，y₀）满足${x}_{0}=\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=-$\frac{2m}{3}$，${y}_{0}={x}_{0}+m=\frac{m}{3}$．
已知点P（-3，2），若以AB为底的等腰三角形ABP存在，
则k_PM=-1，即$\frac{{y}_{0}-2}{{x}_{0}+3}$=-1，④，将M（-$\frac{2m}{3}，\frac{m}{3}$）代入④式，
得m=3∈（-2$\sqrt{3}$，2$\sqrt{3}$）满足②（10分）
此时直线l的方程为y=x+3．（12分）

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查直线方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理、椭圆性质的合理运用．