Question

3．如图，已知曲线C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0，y≤0）的离心率e=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，且经过点G（1，-$\frac{\sqrt{6}}{3}$），曲线C₂：x²=2y，过曲线C₁上一点P作C₂的两条切线，切点分别为A，B．
（Ⅰ）求曲线C₁的方程；
（Ⅱ）求△PAB面积的最大值与最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）运用椭圆的离心率公式和点满足椭圆方程，求解方程组得到a，b的值，则椭圆方程可求；
（Ⅱ）设AB所在直线方程为y=kx+t，联立直线方程和抛物线方程，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系求得A，B的横坐标的和与积，再分别写出过A，B的抛物线的切线方程，运用导数求得切线的斜率，得到切线方程，联立两切线方程求出P的坐标，代入椭圆方程得到k，t的关系，再由弦长公式求出|AB|，由点到直线的距离公式求出P到AB的距离，代入面积公式，利用配方法求得S_△ABP的最值．

解答 解：（Ⅰ）由题意可得，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，a²-b²=c²，
将点G（1，-$\frac{\sqrt{6}}{3}$）代入椭圆方程，可得
$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{2}{3{b}^{2}}$=1，
解得a²=3，b²=1，
则曲线C₁的方程为$\frac{{x}^{2}}{3}$+y²=1（y≤0）；
（Ⅱ）设直线AB：y=kx+t，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+t}\\{{x}^{2}=2y}\end{array}\right.$，得x²-2kx-2t=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x₁+x₂=2k，x₁x₂=-2t，
PA：y=k₁（x-x₁）+$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{2}$，由y=$\frac{1}{2}$x²的导数为y′=x，
可得k₁=x₁，
则PA：y=x₁x-$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{2}$，
同理PB：y=x₂x-$\frac{{{X}_{2}}^{2}}{2}$，
得P（$\frac{1}{2}$（x₁+x₂），$\frac{1}{2}$x₁x₂），即为（k，-t），
即$\frac{{k}^{2}}{3}$+t²=1，即k²+3t²=3（0≤t≤1），
点P到AB的距离d=$\frac{|{k}^{2}+2t|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
|x₁-x₂|=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{4{k}^{2}+8t}$，
|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•|x₁-x₂|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{4{k}^{2}+8t}$，
则S_△ABP=$\frac{1}{2}$d•|AB|=$\frac{1}{2}$•$\frac{|{k}^{2}+2t|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$•$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{4{k}^{2}+8t}$
=（k²+2t）${\;}^{\frac{3}{2}}$=（3-3t²+2t）${\;}^{\frac{3}{2}}$=[-3（t-$\frac{1}{3}$）²+$\frac{10}{3}$]${\;}^{\frac{3}{2}}$，
当t=$\frac{1}{3}$时，面积取得最大值$\frac{10}{9}$$\sqrt{30}$；
当t=1时，△PAB的面积取得最小值2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查了直线与抛物线的位置关系的应用，训练了学生灵活处理问题和解决问题的能力，该题灵活性强，运算量大，属于中档题．