Question

10．已知（1+2x）ⁿ=a₀+a₁（x-$\frac{1}{2}$）+a₂（x-$\frac{1}{2}$）²+…+a_n（x-$\frac{1}{2}$）ⁿ（其中n∈N^*），若a₁+a₂+…+a_n=240，则x³的系数是（　　）

• A． 16
• B． 32
• C． 31
• D． 36

Answer 1

分析 根据题意，令x=$\frac{1}{2}$，求出a₀，再令x=$\frac{3}{2}$，求出a₀+a₁+a₂+…+a_n的值，即可求出n的值，再利用二项式展开式的通项公式求出展开式中x³的系数．

解答 解：∵（1+2x）ⁿ=a₀+a₁（x-$\frac{1}{2}$）+a₂（x-$\frac{1}{2}$）²+…+a_n（x-$\frac{1}{2}$）ⁿ（其中n∈N^*），
且a₁+a₂+…+a_n=240，
∴令x=$\frac{1}{2}$，得a₀=${（1+2×\frac{1}{2}）}^{n}$=2ⁿ；
再令x=$\frac{3}{2}$，得（1+2×$\frac{3}{2}$）ⁿ=a₀+a₁+a₂+…+a_n=2ⁿ+240=4ⁿ，
解得2ⁿ=16，
∴n=4；
∴（1+2x）⁴展开式的通项公式为：
T_r+1=${C}_{4}^{r}$•（2x）^r=${C}_{4}^{r}$•2^r•x^r，
令r=3，得出T₄=${C}_{4}^{3}$•2³•x³=32x³，
∴x³的系数32．
故选：B．

点评 本题考查了二项式定理的应用问题，也考查了用赋值法求对应项的系数问题，是综合性题目．