Question

13．若二项式（x+$\frac{1}{\sqrt{x}}$）⁶的展开式中的x³项大于15，且x为等比数列a_n的公比，则$\underset{lim}{n→∞}\frac{{a}_{1}+{a}_{2}+…+{a}_{n}}{{a}_{3}+{a}_{4}+…+{a}_{n}}$=1．

Answer 1

分析 T_r+1=${∁}_{6}^{r}$x^6-r$（\frac{1}{\sqrt{x}}）^{r}$=${∁}_{6}^{r}$${x}^{6-\frac{3r}{2}}$，令$6-\frac{3r}{2}$=3，解得r．由${∁}_{6}^{2}$x³＞15，解得x＞1．再利用等比数列的前n项和公式、极限运算性质即可得出．

解答 解：T_r+1=${∁}_{6}^{r}$x^6-r$（\frac{1}{\sqrt{x}}）^{r}$=${∁}_{6}^{r}$${x}^{6-\frac{3r}{2}}$，
令$6-\frac{3r}{2}$=3，解得r=2．
T₃=${∁}_{6}^{2}$x³，
∴${∁}_{6}^{2}$x³＞15，解得x＞1．
∵x为等比数列a_n的公比，
∴a₁+a₂+…+a_n=$\frac{{a}_{1}（{x}^{n}-1）}{x-1}$，a₃+a₄+…+a_n=$\frac{{a}_{1}{x}^{2}（{x}^{n-2}-1）}{x-1}$，
则$\underset{lim}{n→∞}\frac{{a}_{1}+{a}_{2}+…+{a}_{n}}{{a}_{3}+{a}_{4}+…+{a}_{n}}$=$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{{x}^{n}-1}{{x}^{n}-{x}^{2}}$=$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{1-\frac{1}{{x}^{n}}}{1-\frac{{x}^{2}}{{x}^{n}}}$=1．
故答案为：1．

点评 本题考查了二项式定理的应用、等比数列的前n项和公式、极限运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．