Question

18．给出下列五个结论：
①回归直线y=bx+a一定过样本中心点（$\overline{x}$，$\overline{y}$）；
②命题“?x∈R，均有x²-3x-2＞0”的否定是：“?x₀∈R，使得x₀²-3x₀-2≤0”；
③将函数y=sinx+$\sqrt{3}$cosx的图象向右平移$\frac{π}{6}$后，所得到的图象关于y轴对称；
④?m∈R，使f（x）=（m-1）•x${\;}^{{m}^{2}-4m+3}$是幂函数，且在（0，+∞）上递增；
⑤函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x+1，x≤0}\\{{2}^{x}•|lo{g}_{2}x|-1，x＞0}\end{array}\right.$恰好有三个零点；
其中正确的结论为（　　）

• A． ①②④
• B． ①②⑤
• C． ④⑤
• D． ②③⑤

Answer 1

分析 ①根据回归直线的性质进行判断．
②根据含有量词的命题的否定进行判断．
③根据三角函数的图象和性质进行判断．
④根据幂函数的性质进行判断．
⑤根据函数的零点的定义进行判断．

解答 解：①回归直线y=bx+a一定过样本中心点（$\overline{x}$，$\overline{y}$）；故①正确，
②命题“?x∈R，均有x²-3x-2＞0”的否定是：“?x₀∈R，使得x₀²-3x₀-2≤0”；故②正确
③函数y=sinx+$\sqrt{3}$cosx=2cos（x-$\frac{π}{6}$），将函数的图象向右平移$\frac{π}{6}$后，得到y=2cos（x-$\frac{π}{6}$-$\frac{π}{6}$）=2cos（x-$\frac{π}{3}$），此时所得到的图象关于y轴不对称；故③错误，
④由m-1=1得m=2，此时f（x）=x⁰是幂函数，在（0，+∞）上函数不递增；故④错误，
⑤若x≤0则由（x）=0得x+1=0，得x=-1，
若x＞0，则由（x）=0得2^x|log₂x|-1=0，
即|log₂x|=（$\frac{1}{2}$）^x，作出y=|log₂x|和y=（$\frac{1}{2}$）^x的图象，由图象知此时有两个交点，

综上函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x+1，x≤0}\\{{2}^{x}•|lo{g}_{2}x|-1，x＞0}\end{array}\right.$恰好有三个零点；故⑤正确，
故选：B

点评 本题主要考查命题的真假的判断，涉及函数的零点，含有量词的命题的否定，幂函数的定义以及三角函数的图象和性质，综合性较强，考查学生的推理能力．