Question

8．已知函数f（x）=x²+4x+4，若存在实数t，当x∈[1，t]时，f（x+a）≤4x恒成立，则实数t的最大值为（　　）

• A． 4
• B． 7
• C． 8
• D． 9

Answer 1

分析 先由f（x）=（x+2）²和f（x+a）≤4x得（x+a+2）²≤4x，化简得（x+a）²+4a+4≤0，令g（x）=（x+a）²+4a+4，利用函数性质将恒成立问题转化为g（1）≤0且g（t）≤0，求解t的范围，最后求出最值．

解答 解：由f（x）=（x+2）²，
f（x+a）≤4x，即为（x+a+2）²≤4x，
化简（x+a）²+4a+4≤0，
设g（x）=（x+a）²+4a+4，g（x）图象为开口向上的抛物线，
若对任意的x∈[1，t]，g（x）≤0恒成立，
只需函数在两个端点处的函数值非正即可，
即g（1）=a²+6a+5≤0，配方得（a+3）²≤4，则-5≤a≤-1；
此时g（t）≤0即为g（t）=（t+a）²+4a+4≤0，
即有-4≤t-5≤4，解得1≤t≤9，
又t＞1，
则t的最大值为9．
故选：D．

点评 本题考查函数恒成立问题的解法，注意运用转化思想，结合二次函数的图象及性质求解，是一种重要的方法．