Question

16．已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，且满足（b-c）²=a²-bc．
（1）求角A的大小；
（2）若a=3，sinC=2sinB，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）由已知等式可得b²+c²-a²=bc，由余弦定理可得cosA=$\frac{1}{2}$，结合范围A∈（0，π），即可求得A的值．
（2）由sinC=2sinB及正弦定理可得c=2b，又a=3，A=$\frac{π}{3}$，由余弦定理可解得b，c的值，利用三角形面积公式即可得解．

解答 （本题满分为12分）
解：（1）∵（b-c）²=a²-bc，可得：b²+c²-a²=bc，
∴由余弦定理可得：cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{bc}{2abc}$=$\frac{1}{2}$，…4分
又∵A∈（0，π），
∴A=$\frac{π}{3}$…6分
（2）由sinC=2sinB及正弦定理可得：c=2b，
∵a=3，A=$\frac{π}{3}$，…8分
∴由余弦定理可得：a²=b²+c²-2bccosA=b²+c²-bc=3b²，
∴解得：b=$\sqrt{3}$，c=2$\sqrt{3}$，…10分
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}×\sqrt{3}×2\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$…12分

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．