Question

6．在平面直角坐标系xOy中，已知角β的顶点为坐标原点O，始边在x轴的正半轴上，终边经过点P（-4，3）
（1）求sinβ与sin2β的值
（2）已知函数f（x）=3cos（x-$\frac{π}{4}$），求函数f（x）的最大值和最小正周期，并求f（β）的值．

Answer 1

分析 （1）由条件利用任意角的三角函数的定义求得sinβ、cosβ的值，再利用二倍角公式求得sin2β的值．
（2）由条件利用余弦函数的周期性和最值求得函数f（x）的最大值和周期，再利用两角差的余弦公式求得f（β）的值．

解答 解：（1）平面直角坐标系xOy中，已知角β的顶点为坐标原点O，始边在x轴的正半轴上，终边经过点P（-4，3）
∴x=-4，y=3，r=|OP|=5，∴sinβ=$\frac{y}{r}$=$\frac{3}{5}$，cosβ=$\frac{x}{r}$=-$\frac{4}{5}$，
∴sin2β=2sinβcosβ=-$\frac{24}{25}$．
（2）∵已知函数f（x）=3cos（x-$\frac{π}{4}$），故函数f（x）的最大值为3，
最小正周期为2π，f（β）=3cos（β-$\frac{π}{4}$）=3cosβcos$\frac{π}{4}$+3sinβsin$\frac{π}{4}$=-$\frac{3\sqrt{2}}{10}$．

点评 本题主要考查任意角的三角函数的定义，二倍角公式；余弦函数的周期性和最值，两角差的余弦公式，属于基础题．