Question

2．如图，在Rt△ACD中，AH⊥CD，H为垂足，CD=4，AD=2$\sqrt{3}$，∠CAD=90°，以CD为轴，将△ACD按逆时针方向旋转90°到△BCD位置，E为AD中点；
（Ⅰ）证明：AB⊥CD．
（Ⅱ）求二面角B-CE-D的平面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）利用线面垂直得到线线垂直，
（2）分别以HA，HB，HD为x，y，z轴，建立如图所示的空间坐标系H-xyz，分别求出平面的BCE的一个法向量为$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}$，$\frac{\sqrt{3}}{5}$，-$\frac{3}{5}$），$\overrightarrow{HB}$=（0，$\sqrt{3}$，0）为平面DEC的一个法向量，根据向量的夹角公式即可求出．

解答 证明：（1）∵DC⊥AH，DC⊥BH，AH∩BH=H，
∴DC⊥平面ABH，
又AB?平面ABH，
∴AB⊥CD．
（Ⅱ）分别以HA，HB，HD为x，y，z轴，建立如图所示的空间坐标系H-xyz，
由已知条件不难求得，AH=BH=$\sqrt{3}$，HD=3，BC=1，
∴A（$\sqrt{3}$，0，0），B（0，$\sqrt{3}$，0），C（0，0，-1），D（0，0，3），
又点E为中点，
∴E（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，0，$\frac{3}{2}$），
∴$\overrightarrow{CE}$=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，0，$\frac{5}{2}$），$\overrightarrow{BE}$=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，-$\sqrt{3}$，$\frac{3}{2}$），HB=（0，$\sqrt{3}$，0），
设平面的BCE的一个法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CE}=\frac{\sqrt{3}}{2}x+\frac{5}{2}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BE}=\frac{\sqrt{3}}{2}x-\sqrt{3}y+\frac{3}{2}z=0}\end{array}\right.$，
令x=$\sqrt{3}$，解得y=$\frac{\sqrt{3}}{5}$，z=-$\frac{3}{5}$，
∴平面的BCE的一个法向量为$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}$，$\frac{\sqrt{3}}{5}$，-$\frac{3}{5}$），
又HB⊥平面DCE，
∴$\overrightarrow{HB}$=（0，$\sqrt{3}$，0）为平面DEC的一个法向量，
设所求的二面角是θ，
∴cosθ=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{HB}|}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{HB}|}$=$\frac{\frac{3}{5}}{\sqrt{3+\frac{3}{25}+\frac{9}{25}}•\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{29}}{29}$

点评 本题主要考查了直线与直线垂直的判定，以及与二面角有关的立体几何综合题，考查学生空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．