Question

12．若AB是圆x²+（y-3）²=1的任意一条直径，O为坐标原点，则$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=8．

Answer 1

分析 可作出图形，设圆心为C，从而$|\overrightarrow{OC}|=3$，而由圆的标准方程可得$|\overrightarrow{CA}|=1$，而根据向量的加法和数乘的几何意义可得到$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{CA}$，$\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{CA}$，从而进行数量积的运算便可得出$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$的值．

解答 解：如图，

设圆心为C（0，3），则$|\overrightarrow{OC}|=3$；
由圆的标准方程知，圆的半径为1，∴$|\overrightarrow{CA}|=1$；
∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=（\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{CA}）•（\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{CB}）$
=$（\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{CA}）•（\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{CA}）$
=${\overrightarrow{OC}}^{2}-{\overrightarrow{CA}}^{2}$
=9-1
=8．
故答案为：8．

点评 考查圆的标准方程，以及向量加法和数乘的几何意义，向量数量积的运算，平方差公式在数量积运算中的应用．