Question

9．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|{2}^{x}-1|，x＜2}\\{\frac{3}{x-1}，x≥2}\end{array}\right.$若函数g（x）=f[f（x）]-2的零点个数为（　　）

• A． 3
• B． 4
• C． 5
• D． 6

Answer 1

分析 函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|{2}^{x}-1|，x＜2}\\{\frac{3}{x-1}，x≥2}\end{array}\right.$，通过对x分类讨论可得f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|{2}^{x}-1|∈[0，2]，}&{x∈（-∞，lo{g}_{2}3）}\\{{2}^{x}-1∈（2，3），}&{x∈[lo{g}_{2}3，2）}\\{\frac{3}{x-1}∈（2，3]，}&{2≤x＜\frac{5}{2}}\\{\frac{3}{x-1}∈（0，2]，}&{x≥\frac{5}{2}}\end{array}\right.$．进而解出即可．

解答 解：∵函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|{2}^{x}-1|，x＜2}\\{\frac{3}{x-1}，x≥2}\end{array}\right.$，
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|{2}^{x}-1|∈[0，2]，}&{x∈（-∞，lo{g}_{2}3）}\\{{2}^{x}-1∈（2，3），}&{x∈[lo{g}_{2}3，2）}\\{\frac{3}{x-1}∈（2，3]，}&{2≤x＜\frac{5}{2}}\\{\frac{3}{x-1}∈（0，2]，}&{x≥\frac{5}{2}}\end{array}\right.$．
∴x∈（-∞，log₂3）时，f（f（x））=$|{2}^{|{2}^{x}-1|}-1|$∈[0，3]，令f（f（x））=2，解得x=log₂（1+log₂3）．
同理可得：x∈[log₂3，2）时，$\frac{3}{{2}^{x}-1-1}$=2，解得x=$lo{g}_{2}\frac{7}{2}$．
x∈$[2，\frac{5}{2}）$时，$\frac{3}{\frac{3}{x-1}-1}$=2，解得x=$\frac{11}{5}$．
$x≥\frac{5}{2}$时，$|{2}^{\frac{3}{x-1}}-1|$=2，解得x=1+$\frac{3}{lo{g}_{2}3}$．
综上可得：函数g（x）=f[f（x）]-2的x零点个数为4．
故选：B．

点评 本题考查了函数的性质、不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题．