Question

8．已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0），则椭圆在其上一点A（x₀，y₀）处的切线方程为$\frac{{{x_0}x}}{a^2}+\frac{{{y_0}y}}{b^2}$=1，试运用该性质解决以下问题：椭圆C₁：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0），其焦距为2，且过点$（1，\frac{{\sqrt{2}}}{2}）$．点B为C₁在第一象限中的任意一点，过B作C₁的切线l，l分别与x轴和y轴的正半轴交于C，D两点，则△OCD面积的最小值为（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• B． $\sqrt{2}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． 2

Answer 1

分析 依题意得：椭圆的焦点为F₁（-1，0），F₂（1，0），可得c=1，代入点$（1，\frac{{\sqrt{2}}}{2}）$，计算即可求出a，b，从而可求椭圆C₁的方程；设B（x₂，y₂），求得椭圆C₁在点B处的切线方程，分别令x=0，y=0，求得截距，由三角形的面积公式，再结合基本不等式，即可求△OCD面积的最小值．

解答 解：由题意可得2c=2，即c=1，a²-b²=1，
代入点$（1，\frac{{\sqrt{2}}}{2}）$，可得$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{2{b}^{2}}$=1，
解得a=$\sqrt{2}$，b=1，
即有椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1，
设B（x₂，y₂），
则椭圆C₁在点B处的切线方程为$\frac{{x}_{2}}{2}$x+y₂y=1
令x=0，y_D=$\frac{1}{{y}_{2}}$，令y=0，可得x_C=$\frac{2}{{x}_{2}}$，
所以S_△OCD=$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{{y}_{2}}$•$\frac{2}{{x}_{2}}$=$\frac{1}{{x}_{2}{y}_{2}}$，
又点B在椭圆的第一象限上，
所以x₂，y₂＞0，$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{2}$+y₂²=1，
即有$\frac{1}{{x}_{2}{y}_{2}}$=$\frac{\frac{{{x}_{2}}^{2}}{2}+{{y}_{2}}^{2}}{{x}_{2}{y}_{2}}$=$\frac{{x}_{2}}{2{y}_{2}}$+$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}}$≥2$\sqrt{\frac{{x}_{2}}{2{y}_{2}}•\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}}}$=$\sqrt{2}$，
S_△OCD≥$\sqrt{2}$，当且仅当$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{2}$=y₂²=$\frac{1}{2}$，
所以当B（1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）时，三角形OCD的面积的最小值为$\sqrt{2}$．
故选：B．

点评 本题考查椭圆的方程的求法，考查三角形面积的最值的求法，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．