Question

17．在平面内，点A，B，C分别在直线l₁、l₂、l₃上，且l₁∥l₂∥l₃（l₂在l₁与l₃之间），l₁与l₂间距离为a，l₂与l₃之间距离为b，且$\overrightarrow{AB}$²=$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$，则△ABC的面积最小值为（　　）

• A． $\frac{a+b}{2}$
• B． ab
• C． 2$\sqrt{ab}$
• D． $\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{2}$

Answer 1

分析 由条件判断$\overrightarrow{AB}⊥\overrightarrow{CB}$，再作辅助线利用直角三角形中的边角关系求出AB、AC的长，可得S_△ABC 的解析式，再根据正弦函数的值域，求得它的最小值．

解答 解：△ABC中，由$\overrightarrow{AB}$²=$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$，可得$\overrightarrow{AB}$•（$\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}$）=$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{CB}$=0，∴$\overrightarrow{AB}⊥\overrightarrow{CB}$．
过点B作EF⊥l₂，交l₁于E，交l₃于F，如图所示，
∵EF⊥l₂，l₁∥l₂∥l₃，∴EF⊥l₁⊥l₃，
∴∠ABE+∠EAB=90°，∠AEB=∠BFC=90°．
又∵∠ABC=90°，∴∠ABE+∠FBC=90°，∴∠EAB=∠FBC=θ，且θ为锐角．
在△ABE和△BCF中，∵BE=a，BF=b，∴AB=$\frac{BE}{sinθ}$=$\frac{a}{sinθ}$，BC=$\frac{BF}{cosθ}$=$\frac{b}{cosθ}$．
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•BC=$\frac{1}{2}$•$\frac{a}{sinθ}•\frac{b}{cosθ}$=$\frac{ab}{sin2θ}$，故当θ=$\frac{π}{4}$时，S_△ABC 取得最小值为ab，
故选：B．

点评 本题主要考查了两个向量的数量积的运算、两个向量垂直的判定，勾股定理、平行线之间的距离，解题的关键是作辅助线，求出AB和 AC的值，属于中档题．