Question

5．如图，A，B为椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的两个顶点，过椭圆的右焦点F作x轴的垂线，与其交于点C，若AB∥OC（O为坐标原点），则直线AB的斜率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 由已知得C（c，$\frac{{b}^{2}}{a}$），A（-a，0），B（0，b），从而得到$\frac{b}{a}=\frac{\frac{{b}^{2}}{a}}{c}$，即b=c，由此能求出直线AB的斜率．

解答 解：∵A，B为椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的两个顶点
过椭圆的右焦点F作x轴的垂线，与其交于点C，AB∥OC（O为坐标原点），
∴C（c，$\frac{{b}^{2}}{a}$），A（-a，0），B（0，b），
∴$\frac{b}{a}=\frac{\frac{{b}^{2}}{a}}{c}$，∴bc=b²，∴b=c，
∴a²=b²+c²=2c²，
∴a=$\sqrt{2}c$=$\sqrt{2}b$，
∴直线AB的斜率k=$\frac{b}{a}=\frac{b}{\sqrt{2}b}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查直线方程的斜率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用．