Question

16．已知椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），其左、右焦点分别为F₁（-c，0），F₂（c，0）（c＞0）．
（Ⅰ）若c=2，且F₂关于直线y=$\frac{12}{5}$x+$\frac{5}{6}$的对称点在椭圆E上，求椭圆E的方程；
（Ⅱ）如图所示，若椭圆E的内接平行四边形的一组对边分别经过它的两个焦点，试求这个平行四边形的面积的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意可得，c=2，设F₂关于直线y=$\frac{12}{5}$x+$\frac{5}{6}$的对称点为（m，n），运用点关于直线的对称条件，解方程可得m，n，代入椭圆方程，可得a，b，进而得到椭圆方程；
（Ⅱ）①当直线AD的斜率不存在时，求出三个点的坐标，然后求解平行四边形的面积；
②当直线AD的斜率存在时，设直线AD的方程为y=k（x-c），与椭圆方程联立，设点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄）．利用韦达定理，连结AF₁，DF₁，表示出面积表达式，然后求解最值．

解答 解：（Ⅰ）由题意可得，c=2，即a²-b²=4，
设F₂关于直线y=$\frac{12}{5}$x+$\frac{5}{6}$的对称点为（m，n），
可得$\frac{n}{m-2}$=-$\frac{5}{12}$，$\frac{1}{2}$n=$\frac{12}{5}$•$\frac{1}{2}$（m+2）+$\frac{5}{6}$，
解得m=-2，n=$\frac{5}{3}$，
将（-2，$\frac{5}{3}$）代入椭圆方程可得$\frac{4}{{a}^{2}}$+$\frac{25}{9{b}^{2}}$=1，
解得a=3，b=$\sqrt{5}$，
即有椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{5}$=1；
（Ⅱ）①当直线AD的斜率不存在时，
此时易得A（c，$\frac{{b}^{2}}{a}$），B（-c，$\frac{{b}^{2}}{a}$），C（-c，-$\frac{{b}^{2}}{a}$），D（c，-$\frac{{b}^{2}}{a}$），
所以平行四边形ABCD的面积为|AB|•|CD|=$\frac{4c{b}^{2}}{a}$；
②当直线AD的斜率存在时，设直线AD的方程为y=k（x-c），
将其代入椭圆方程，整理得（b²+a²k²）x²-2ca²k²x+a²c²k²-a²b²=0．
设点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄）．
则x₁+x₄=$\frac{2c{a}^{2}{k}^{2}}{{b}^{2}+{a}^{2}{k}^{2}}$，x₁x₄=$\frac{{a}^{2}{c}^{2}{k}^{2}-{a}^{2}{b}^{2}}{{b}^{2}+{a}^{2}{k}^{2}}$．
连结AF₁，DF₁，
则平行四边形ABCD的面积S=2${S}_{△AD{F}_{1}}$=|F₁F₂|•|y₁-y₄|=2c|y₁-y₄|，
又（y₁-y₄）²=k²（x₁-x₄）²=k²[（x₁+x₄）²-4x₁x₄]
=k²[（$\frac{2c{a}^{2}{k}^{2}}{{b}^{2}+{a}^{2}{k}^{2}}$）²-4•$\frac{{a}^{2}{c}^{2}{k}^{2}-{a}^{2}{b}^{2}}{{b}^{2}+{a}^{2}{k}^{2}}$]=$\frac{4{b}^{4}}{{a}^{2}}$•$\frac{{k}^{2}（1+{k}^{2}）}{（{k}^{2}+\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}）^{2}}$，
由a＞b，可得（k²+$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$）²-k²（1+k²）=$\frac{2{b}^{2}-{a}^{2}}{{a}^{2}}$k²+$\frac{{b}^{4}}{{a}^{4}}$，
当a≤$\sqrt{2}$b时，（y₁-y₄）²＜$\frac{4{b}^{4}}{{a}^{2}}$，即有S＜$\frac{4c{b}^{2}}{a}$；
当a＞$\sqrt{2}$b时，S与k的取值有关，无最值．
综上，当a≤$\sqrt{2}$b时，平行四边形的面积取得最大值$\frac{4c{b}^{2}}{a}$；
当a＞$\sqrt{2}$b时，S与k的取值有关，无最值．

点评 本题考查椭圆的方程的求法，直线与椭圆的综合应用，考查分析问题解决问题的能力，转化思想的应用，综合性强，属于难题．