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    1．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=l（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，抛物线y2=4x与椭圆C有相同的焦点，点P为抛物线与椭圆C在第一象限的交点，且|PF2|=$\frac{5}{3}$．
    （I）求椭圆C的方程；
    （Ⅱ）过点F1作直线l与椭圆C交于A，B两点，设$\overrightarrow{A{F_1}}=λ\overrightarrow{{F_1}B}$．若λ∈[1，2]，求△ABF2面积的取值范围．

    分析 （Ⅰ）由题意即可得出F1（-1，0），F2（1，0），根据抛物线的定义以及点P在抛物线上即可得出P点坐标，从而可以求出|PF1|，从而根据椭圆的定义可得出a=2，进而求出b2=3，这样即可得出椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
    （Ⅱ）根据题意可设l：x=my-1，联立椭圆方程并消去x可得到（3m2+4）y2-6my-9=0，可设A（x1，y1），B（x2，y2），由韦达定理便可得到$\left\{\begin{array}{l}{{y}_{1}+{y}_{2}=\frac{6m}{3{m}^{2}+4}}\\{{y}_{1}{y}_{2}=-\frac{9}{3{m}^{2}+4}}\end{array}\right.$（1），而由$\overrightarrow{A{F}_{1}}=λ\overrightarrow{{F}_{1}B}$可得到y1=-λy2，带入（1）并消去y1，y2可得$\frac{4{m}^{2}}{3{m}^{2}+4}=λ+\frac{1}{λ}-2$．而由λ的范围便可求出$λ+\frac{1}{λ}-2$的范围，从而得出$0≤{m}^{2}≤\frac{4}{5}$，可以得到${S}_{△AB{F}_{2}}=\frac{12\sqrt{{m}^{2}+1}}{3{m}^{2}+4}$，根据m2的范围，换元即可求出△ABF2的面积的取值范围．

    解答 解：（Ⅰ）由抛物线的定义，得点P到直线x=-1的距离为$\frac{5}{3}$，且点P在抛物线y2=4x上；
    ∴$P（\frac{2}{3}，\sqrt{\frac{8}{3}}）$；
    ∴$|P{F}_{1}|=\sqrt{（\frac{5}{3}）^{2}+\frac{8}{3}}=\frac{7}{3}$；
    ∴由椭圆定义得，$2a=\frac{7}{3}+\frac{5}{3}$；
    ∴a=2；
    又a2-b2=1，∴b2=3；
    ∴椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
    （Ⅱ）据题意知，直线l的斜率不为0，设直线l：x=my-1，代入椭圆方程，消去x得：
    （3m2+4）y2-6my-9=0；
    设A（x1，y1），B（x2，y2），则：$\left\{\begin{array}{l}{{y}_{1}+{y}_{2}=\frac{6m}{3{m}^{2}+4}}\\{{y}_{1}{y}_{2}=-\frac{9}{3{m}^{2}+4}}\end{array}\right.$（1）；
    ∵$\overrightarrow{A{F}_{1}}=λ\overrightarrow{{F}_{1}B}$；
    ∴-y1=λy2带入（1）消去y1，y2得：$\frac{4{m}^{2}}{3{m}^{2}+4}=\frac{（λ-1）^{2}}{λ}$；
    ∵λ∈[1，2]；
    ∴$\frac{（λ-1）^{2}}{λ}=λ+\frac{1}{λ}-2∈[0，\frac{1}{2}]$；
    ∴$0≤\frac{4{m}^{2}}{3{m}^{2}+4}≤\frac{1}{2}$；
    解得$0≤{m}^{2}≤\frac{4}{5}$；
    ∴${S}_{△AB{F}_{2}}=\frac{1}{2}|{F}_{1}{F}_{2}||{y}_{1}-{y}_{2}|$=$|{y}_{1}-{y}_{2}|=\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=$\frac{12\sqrt{{m}^{2}+1}}{3{m}^{2}+4}$；
    令$\sqrt{1+{m}^{2}}=t$$∈[1，\frac{3}{\sqrt{5}}]$，则m2=t2-1；
    ∴${S}_{△AB{F}_{2}}=\frac{12t}{3{t}^{2}+1}=\frac{12}{3t+\frac{1}{t}}$；
    ∵$3t+\frac{1}{t}∈[4，\frac{32\sqrt{5}}{15}]$；
    ∴$\frac{12}{3t+\frac{1}{t}}∈[\frac{9\sqrt{5}}{8}，3]$；
    ∴△ABF2面积的取值范围为$[\frac{9\sqrt{5}}{8}，3]$．

    点评 考查抛物线的标准方程，椭圆的标准方程，以及抛物线和椭圆的定义，过定点斜率不为0直线方程的设法，韦达定理，根据点的坐标求向量的坐标，向量坐标的数乘运算，三角形的面积公式，需清楚函数$y=x+\frac{1}{x}$的单调性的判断．

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    （Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
    （Ⅱ）若圆O上的一点Q的切线l1交椭圆C于A，B两点，试确定∠AOB的大小，并加以证明．

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    （Ⅰ）求C的离心率；
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    （Ⅰ）若c=2，且F2关于直线y=$\frac{12}{5}$x+$\frac{5}{6}$的对称点在椭圆E上，求椭圆E的方程；
    （Ⅱ）如图所示，若椭圆E的内接平行四边形的一组对边分别经过它的两个焦点，试求这个平行四边形的面积的最大值．

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    （Ⅰ）求椭圆C的方程；
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