Question

9．设椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的焦点F₁，F₂，过右焦点F₂的直线l与C相交于P、Q两点，若△PQF₁的周长为短轴长的2$\sqrt{3}$倍．
（Ⅰ）求C的离心率；
（Ⅱ）设l的斜率为1，在C上是否存在一点M，使得$\overrightarrow{OM}=2\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OQ}$？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由椭圆的焦点F₁，F₂，过右焦点F₂的直线l与C相交于P、Q两点，△PQF₁的周长为短轴长的2$\sqrt{3}$倍，得到$a=\sqrt{3}b$，由此能求出椭圆C的离心率．
（Ⅱ）设椭圆方程为${x^2}+3{y^2}=\frac{3}{2}{c^2}$，直线的方程为y=x-c，代入椭圆方程得$4{x^2}-6cx+\frac{3}{2}{c^2}=0$，由此利用韦达定理、椭圆性质、向量知识，结合已知条件能求出不存在点M，使$\overrightarrow{OM}=2\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OQ}$成立．

解答 解：（Ⅰ）∵椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的焦点F₁，F₂，过右焦点F₂的直线l与C相交于P、Q两点，
△PQF₁的周长为短轴长的2$\sqrt{3}$倍，△PQF₁的周长为4a…（2分）
∴依题意知$4a=4\sqrt{3}b$，即$a=\sqrt{3}b$…（3分）
∴C的离心率$e=\sqrt{1-{{（\frac{b}{a}）}^2}}=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$…（4分）
（Ⅱ）设椭圆方程为${x^2}+3{y^2}=\frac{3}{2}{c^2}$，直线的方程为y=x-c，
代入椭圆方程得$4{x^2}-6cx+\frac{3}{2}{c^2}=0$…（5分）
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则${x_1}+{x_2}=\frac{3}{2}c$，${x_1}{x_2}=\frac{3}{8}{c^2}$…（6分）
设M（x₀，y₀），则$x_0^2+3y_0^2=\frac{3}{2}{c^2}$①…（7分）
由$\overrightarrow{OM}=2\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OQ}$得$\left\{\begin{array}{l}{x_0}=2{x_1}+{x_2}\\{y_0}=2{y_1}+{y_2}\end{array}\right.$…（8分）
代入①得$4（x_1^2+3y_1^2）+x_2^2+3y_2^2+4（{x_1}{x_2}+3{y_1}{y_2}）=\frac{3}{2}{c^2}$…（9分）
因为$x_1^2+3y_1^2=\frac{3}{2}{c^2}$，$x_2^2+3y_2^2=\frac{3}{2}{c^2}$，
所以$\frac{3}{2}{c^2}+（{x_1}{x_2}+3{y_1}{y_2}）=0$②…（10分）
而${x_1}{x_2}+3{y_1}{y_2}={x_1}{x_2}+3（{x_1}-c）（{x_2}-c）=4{x_1}{x_2}-3c（{x_1}+{x_2}）+3{c^2}=0$…（11分）
从而②式不成立．
故不存在点M，使$\overrightarrow{OM}=2\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OQ}$成立…（12分）

点评 本题考查椭圆的离心率的求法，考查满足条件的点是否存在的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意韦达定理、椭圆性质、向量知识的合理运用．