Question

19．（1）把函数y=sin2x的图象沿x轴向左平移$\frac{π}{6}$个单位，纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）后得到函数y=f（x）图象，对于函数y=f（x）有以下四个判断：
①该函数的解析式为y=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）；②该函数图象关于点（$\frac{π}{3}$，0）对称；
③该函数在[0，$\frac{π}{6}$]上是增函数；④函数y=f（x）+a在[0，$\frac{π}{2}$]上的最小值为$\sqrt{3}$，则a=2$\sqrt{3}$．
（2）以下命题：⑤若|$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow{b}$|，则$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{b}$；⑥$\overrightarrow{a}$=（-1，1）在$\overrightarrow{b}$=（3，4）方向上的投影为$\frac{1}{5}$；⑦若非零向量$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$满足|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{b}$|，则|2$\overrightarrow{b}$|＞|$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$|．
在（1）和（2）中，正确判断的序号是②④⑤⑥⑦．

Answer 1

分析 （1）根据三角函数的图象关系先求出函数f（x）的解析式，然后根据三角函数的图象和性质进行判断．
（2）根据向量的数量积的定义和应用，进行判断即可、

解答 解：将函数向左平移$\frac{π}{6}$得到y=sin2（x+$\frac{π}{6}$）=sin（2x+$\frac{π}{3}$），然后纵坐标伸长到原来的2倍得到y=2sin（2x+$\frac{π}{3}$），即y=f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$），所以①不正确．
y=f（$\frac{π}{3}$）=2sin（2×$\frac{π}{3}$+$\frac{π}{3}$）=2sinπ=0，所以函数图象关于点（$\frac{π}{3}$，0）对称，所以②正确．
由-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x+$\frac{π}{3}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，得-$\frac{5π}{12}$+kπ≤x≤$\frac{π}{12}$+kπ，k∈Z，即函数的单调增区间为[-$\frac{5π}{12}$+kπ，$\frac{π}{12}$+kπ]，k∈Z，当k=0时，增区间为[-$\frac{5π}{12}$，$\frac{π}{12}$]，所以③不正确．
y=f（x）+a=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）+a，当0≤x≤$\frac{π}{2}$时，$\frac{π}{3}$≤2x+$\frac{π}{3}$≤$\frac{4π}{3}$，所以当2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{4π}{3}$时，函数值最小为y=2sin$\frac{4π}{3}$+a=-$\sqrt{3}$+a=$\sqrt{3}$，所以a=2$\sqrt{3}$，所以④正确．所以正确的命题为②④．
（2）由|$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow{b}$||cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞|=|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow{b}$|，
所以cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞=±1，即＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞=0或＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞=π，所以$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{b}$，所以⑤正确．
$\overrightarrow{a}$在$\overrightarrow{b}$方向上的投影为|$\overrightarrow{a}$|cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$b＞=$\frac{a•b}{|b|}$=$\frac{-3+4}{5}$=$\frac{1}{5}$，所以⑥正确．
所由|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{b}$|得，$\overrightarrow{a}$²+2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=0，即2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=-$\overrightarrow{a}$²，若|2$\overrightarrow{b}$|＞|$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$|，
则有4$\overrightarrow{b}$²＞$\overrightarrow{a}$²+4$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$+4$\overrightarrow{b}$²，即$\overrightarrow{a}$²+4$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{a}$²=-$\overrightarrow{a}$²＜0，显然成立，所以⑦正确．
故答案为：②④⑤⑥⑦

点评 本题主要考查命题的真假判断，涉及的知识点较多，综合性较强，有一定的难度．