Question

18．某校高一年级学生全部参加了体育科目的达标测试，现从中随机抽取40名学生的测试成绩，整理数据并按分数段[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]进行分组，假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，则得到体育成绩的折线图（如图）．
（1）体育成绩大于或等于70分的学生常被称为“体育良好”，已知该校高一年级有1000名学生，试估计高一全校中“体育良好”的学生人数；
（2）为分析学生平时的体育活动情况，现从体积成绩在[60，70）和[80，90）的样本学生中随机抽取2人，求在抽取的2名学生中，至少有1人体育成绩在[60，70）的概率；
（3）假设甲、乙、丙三人的体育成绩分别为a，b，c，且分别在[70，80），[80，90），[90，100]三组中，其中a，b，c∈N，当数据a，b，c的方差s²最小时，写出a，b，c的值．（结论不要求证明）
（注：s²=$\frac{1}{n}$[（x${\;}_{1}+\overline{x}$）²+（x₂-$\overline{x}$）²+…+（x${\;}_{n}-\overline{x}$）²]，其中$\overline{x}$为数据x₁，x₂，…，x_n的平均数）

Answer 1

分析 （Ⅰ）由折线图，知样本中体育成绩大于或等于70分的学生有30人，由此能求出该校高一年级学生中，“体育良好”的学生人数．
（Ⅱ）从这两组数据中随机抽取两个，求出所有的可能结果，在抽取的2名学生中，至少有1人体育成绩在[60，70）内的对立事件是两人的体育成绩都在[80，90）内，由此能求出至少有1人体育成绩在[60，70）的概率．
（Ⅲ）由已知能写出当数据a，b，c的方差s²最小时，a，b，c的值．

解答 解：（Ⅰ）由折线图，知样本中体育成绩大于或等于70分的学生有30人，
∴该校高一年级学生中，“体育良好”的学生人数大约有1000×$\frac{30}{40}$=750人．
（Ⅱ）设“至少有1人的体育成绩在[60，70）”为事件M，
记体育成绩在[60，70）的数据为A₁，A₂，体育成绩在[80，90）的数据为B₁，B₂，B₃，
从这两组数据中随机抽取两个，所有的可能结果有：${C}_{5}^{2}=10$种，
事件M的对立事件是两人的体育成绩都在[80，90）内，
∴至少有1人体育成绩在[60，70）的概率P（M）=1-$\frac{{C}_{3}^{2}}{{C}_{5}^{2}}$=$\frac{7}{10}$．
（Ⅲ）∵甲、乙、丙三人的体育成绩分别为a，b，c，且分别在[70，80），[80，90），[90，100]三组中，其中a，b，c∈N，
当数据a，b，c的方差s²最小时，a，b，c的值分别为70，80，100．

点评 本题考查折线图的应用，考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．