Question

3．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ （a＞b＞0）的四个顶点所构成的菱形面积为6，且椭圆的焦点通过抛物线y=x²-8与x轴的交点．
（l）求椭圆C的方程；
（2）设直线l与椭圆C交于A，B两点，若AD⊥BD，且D（3，0），求△ABD面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）由y=x²-8，令y=0，解得x，可得c，利用a²-b²=c²，及其得$4×\frac{1}{2}$ab=6，解出即可得出．
（2）不妨设直线AB的方程x=ky+m，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．与椭圆方程联立可得（k²+9）y²+2kmy+m²-9=0，由AD⊥BD，可得$\overrightarrow{DA}•\overrightarrow{DB}$=0，利用根与系数的关系、数量积运算性质可得m．利用S_△ABD=$\frac{1}{2}|DE|$|y₁-y₂|，即为二次函数的单调性即可得出．

解答 解：（1）由y=x²-8，令y=0，得x=±2$\sqrt{2}$，则c=2$\sqrt{2}$，
∴a²-b²=8　　　①．
又由题意，得$4×\frac{1}{2}$ab=6，即ab=3　　②．
由①②解得a=3，b=1，
故椭圆C的方程为：$\frac{{x}^{2}}{9}$+y²=1．
（2）不妨设直线AB的方程x=ky+m，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
由$\left\{\begin{array}{l}{x=ky+m}\\{\frac{{x}^{2}}{9}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，消去x得（k²+9）y²+2kmy+m²-9=0，
则y₁+y₂=$\frac{-2km}{{k}^{2}+9}$，y₁y₂=$\frac{{m}^{2}-9}{{k}^{2}+9}$．
∵AD⊥BD，
∴$\overrightarrow{DA}•\overrightarrow{DB}$=0，．
$\overrightarrow{DA}$=（x₁-3，y₁），$\overrightarrow{DB}$=（x₂-3，y₂），得（x₁-3）（x₂-3）+y₁y₂=0．
∴（k²+1）y₁y₂+k（m-3）（y₁+y₂）+（m-3）²=0，
将 ①代入上式，解得m=$\frac{12}{5}$或m=3（舍）．
∴$m=\frac{12}{5}$（此时直线AB经过定点E$（\frac{12}{5}，0）$，与椭圆有两个交点）．
∴S_△ABD=$\frac{1}{2}|DE|$|y₁-y₂|=$\frac{1}{2}×\frac{3}{5}×$$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=$\frac{9}{5}$$\sqrt{\frac{25（{k}^{2}+9）-144}{25（{k}^{2}+9）^{2}}}$．
设t=$\frac{1}{{k}^{2}+9}$，$0＜t≤\frac{1}{9}$，则
S_△ABD=$\frac{9}{5}$$\sqrt{-\frac{144}{25}{t}^{2}+t}$，
∴当t=$\frac{25}{288}$∈$（0，\frac{1}{9}]$时，S_△ABD取得最大值$\frac{3}{8}$．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交弦长问题、三角形面积计算公式、斜率垂直与数量积的运算性质、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于难题．