Question

13．已知函数$f（x）=（m-\frac{n}{3}）•{3^x}+{x^2}+2nx$，记函数y=f（x）的零点构成的集合为A，函数y=f[f（x）]的零点构成的集合为B，若A=B，则m+n的取值范围为[0，$\frac{8}{3}$）．

Answer 1

分析 根据题意，得出f（0）=0，从而求得m与n的关系，求出f（x）的解析式，再讨论n的值，求出n的取值范围，从而求得m+n的取值范围．

解答 解：根据题意，设x₁∈{x|f（x）=0}={x|f（f（x））=0}，
∴f（x₁）=f（f（x₁））=0，
∴f（0）=0，
即f（0）=m-$\frac{n}{3}$=0，
解得m=$\frac{n}{3}$；
故f（x）=x²+2nx，
f（f（x））=（x²+2nx）（x²+2nx+2n）=0，
当n=0时，满足题意；
当n≠0时，0，-2n不是x²+2nx+2n=0的根，
∴△=4n²-8n＜0，
解得0＜n＜2；
∴m+n=$\frac{4n}{3}$，
则0≤n+m＜$\frac{8}{3}$；
∴m+n的取值范围是[0，$\frac{8}{3}$）．
故答案为：[0，$\frac{8}{3}$）．

点评 本题考查了函数与集合的关系应用及分类讨论的思想应用，同时考查了方程的根的判断，属于中档题．