Question

14．设椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的左、右焦点分别为F₁，F₂，上顶点为A，过点A与AF₂垂直的直线交x轴负半轴于点Q，且F₁是线段QF₂的中点，若过A，Q，F₂三点的圆恰好与直线l：x-$\sqrt{3}$y-3=0相切．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过定点M（0，2）的直线l₁与椭圆C交于G，H两点，且|MG|＞|MH|．若实数λ满足$\overrightarrow{MG}=λ\overrightarrow{MH}$，求λ+$\frac{1}{λ}$的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由已知得A，Q，F₂三点圆的圆心为F₁（-c，0），半径为2c=a，再由该圆与直线l相切，求出c，由此能求出椭圆方程．
（2）设其方程为y=kx+2，代入椭圆方程$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$，得（3+4k²）x²+16kx+4=0，由根的判别式、韦达定理，结合已知条件能求出$λ+\frac{1}{λ}$的取值范围．

解答 解：（1）设椭圆C的半焦距为c（c＞0）
由F₁为线段F₂Q中点，AQ⊥AF₂
所以A，Q，F₂三点圆的圆心为F₁（-c，0），半径为2c=a
又因为该圆与直线l相切，所以$\frac{{|{-c-3}|}}{2}=2c∴c=1$，
所以a²=4，b²=3，故所求椭圆方程为$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$．
（2）若l₁与x轴不垂直，可设其方程为y=kx+2，代入椭圆方程$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$，
可得（3+4k²）x²+16kx+4=0，由△＞0，得${k^2}＞\frac{1}{4}$
设G（x₁，y₁），H（x₂，y₂），根据已知，有x₁=λx₂
于是$\left\{\begin{array}{l}{x_1}+{x_2}=（{1+λ}）{x_2}=\frac{-16k}{{3+4{k^2}}}\\{x_1}{x_2}=λ{x^2}=\frac{1}{{3+4{k^2}}}\end{array}\right.$
消去x₂，可得$\frac{{{{（{1+λ}）}^2}}}{λ}=\frac{{64{k^2}}}{{3+4{k^2}}}$
因为${k^2}＞\frac{1}{4}$，所以$\frac{{64{k^2}}}{{3+4{k^2}}}=\frac{64}{{4+\frac{3}{k^2}}}∈（{4，16}）$
即有$\frac{{{{（{1+λ}）}^2}}}{λ}=λ+\frac{1}{λ}+2∈（{4，16}）$，有$λ+\frac{1}{λ}∈（{2，14}）$
若l₁垂直于x轴，此时$λ=\frac{{2+\sqrt{3}}}{{2-\sqrt{3}}}，λ+\frac{1}{λ}=14$
故$λ+\frac{1}{λ}$的取值范围是（2，14）．

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查代数式的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用．