Question

5．设F₁，F₂分别是双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左右焦点，O为坐标原点，若按双曲线右支上存在一点P，使$\overrightarrow{O{F}_{2}}$•$\overrightarrow{{F}_{2}P}$=0，且|$\overrightarrow{{F}_{1}{F}_{2}}$|=|$\overrightarrow{P{F}_{2}}$|，则双曲线的离心率为（　　）

• A． 1±$\sqrt{2}$
• B． 1+$\sqrt{2}$
• C． 2
• D． $\sqrt{2}$

Answer 1

分析 由题意可得PF₂⊥x轴，且|PF₂|=2c，令x=c代入双曲线的方程，可得$\frac{{b}^{2}}{a}$=2c，由a，b，c的关系和离心率公式，解方程即可得到所求值．

解答 解：由题意可得PF₂⊥x轴，且|PF₂|=2c，
由x=c代入双曲线的方程可得y=±b$\sqrt{\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}-1}$=±$\frac{{b}^{2}}{a}$，
即有$\frac{{b}^{2}}{a}$=2c，即c²-a²-2ac=0，
由e=$\frac{c}{a}$，可得e²-2e-1=0，
解得e=1+$\sqrt{2}$（负的舍去）．
故选：B．

点评 本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用向量垂直的条件：数量积为0，以及运用方程求解的思想，考查运算能力，属于基础题．