Question

10．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F₁（-c，0），F₂（c，0），过F₂作垂直于x轴的直线l₁交椭圆C于A，B两点，且满足|AF₁|=7|AF₂|
（Ⅰ）求椭圆C的离心率；
（Ⅱ）过F₁作斜率为1的直线l₂交C于M，N两点．O为坐标原点，若△OMN的面积为$\frac{2\sqrt{6}}{5}$，求椭圆C的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知推导出|AF₁|=$\frac{7a}{4}$，|AF₂|=$\frac{a}{4}$，再由勾股定理得到得（$\frac{7a}{4}$）²-（$\frac{a}{4}$）²=4c²，由此能求出椭圆C的离心率．
（Ⅱ）椭圆方程化为x²+4y²=b²，直线l为：y=x+$\sqrt{3}b$，联立可得$5{x}^{2}+8\sqrt{3}bx+8{b}^{2}$=0，由此利用韦达定理、弦长公式，结合已知条件能求出椭圆C的方程．

解答 解：（Ⅰ）∵椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F₁（-c，0），F₂（c，0），
过F₂作垂直于x轴的直线l₁交椭圆C于A，B两点，且满足|AF₁|=7|AF₂|，
∴由|AF₁|+|AF₂|=2a，|AF₁|=7|AF₂|，
解得|AF₁|=$\frac{7a}{4}$，|AF₂|=$\frac{a}{4}$，…（2分）
直角△AF₁F₂中，由勾股定理得（$\frac{7a}{4}$）²-（$\frac{a}{4}$）²=4c²，
∴椭圆C的离心率$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．…（4分）
（Ⅱ）椭圆方程化为x²+4y²=b²，直线l为：y=x+$\sqrt{3}b$，
联立可得$5{x}^{2}+8\sqrt{3}bx+8{b}^{2}$=0，…（6分）
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{8\sqrt{3}b}{5}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{8{b}^{2}}{5}$，得|x₁-x₂|=$\frac{4\sqrt{2}b}{5}$．
△OMN的面积为：$\frac{\sqrt{3}b}{2}$|y₁-y₂|=$\frac{\sqrt{3}b}{2}$|x₁-x₂|=$\frac{\sqrt{3}b}{2}×\frac{4\sqrt{2}b}{5}$=$\frac{2\sqrt{6}}{5}{b}^{2}$=$\frac{2\sqrt{6}}{5}$，…（10分）
∴b²=1，a²=4，∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$．…（12分）

点评 本题考查椭圆离心率的求法，考查椭圆方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意韦达定理、弦长公式、椭圆性质的合理运用．