Question

15．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的焦距为4，设右焦点为F，过原点O的直线l与椭圆C交于A，B两点，线段AF的中点为M，线段BF的中点为N，且$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=-$\frac{1}{4}$．
（Ⅰ） 若离心率e=$\frac{1}{2}$，求椭圆C的方程；
（Ⅱ） 求椭圆C的长轴长的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由椭圆的焦距为4，离心率e=$\frac{1}{2}$，列出方程组，求出a，b，由此能求出椭圆C的方程．
（2）设$A（{x_0}，{y_0}），则B（-{x_0}，-{y_0}），M（\frac{{{x_0}+2}}{2}，\frac{y_0}{2}），N（\frac{{2-{x_0}}}{2}，\frac{{-{y_0}}}{2}）$，推导出$x_0^2+y_0^2=5$，设l方程为y=kx，和椭圆方程$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{{{a^2}-4}}=1$联立，得到${{x}_{0}}^{2}∈[0，{a}^{2}]$，由此能求出长轴长的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）∵椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的焦距为4，离心率e=$\frac{1}{2}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2c=4}\\{e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a=4，c=2，b=$\sqrt{16-4}$=2$\sqrt{3}$．
∴椭圆C的方程$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1$．
（2）∵右焦点为F（2，0），过原点O的直线l与椭圆C交于A，B两点，
线段AF的中点为M，线段BF的中点为N，且$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=-$\frac{1}{4}$．
∴设$A（{x_0}，{y_0}），则B（-{x_0}，-{y_0}），M（\frac{{{x_0}+2}}{2}，\frac{y_0}{2}），N（\frac{{2-{x_0}}}{2}，\frac{{-{y_0}}}{2}）$，
$O\vec M•O\vec N=1-\frac{1}{4}（x_0^2+y_0^2）=-\frac{1}{4}$，则$x_0^2+y_0^2=5$，
设l方程为y=kx，和椭圆方程$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{{{a^2}-4}}=1$联立，
消元整理得${x_0}^2=\frac{{{a^2}（{a^2}-4）}}{{{a^2}+{a^2}{k^2}-4}}∈[{0，{a^2}}]$，
∴当${{x}_{0}}^{2}$=0时，${{y}_{0}}^{2}$=5，a²-4=5，解得a=3；当${{x}_{0}}^{2}=5$时，${{y}_{0}}^{2}=0$，a=$\sqrt{5}$．
∴长轴长的取值范围是$[{2\sqrt{5}，6}]$．

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查椭圆的长轴长的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用．