Question

4．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{1}{2}$，且椭圆上的点到右焦点F的最大距离为3
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设过点F的直线l交椭圆C于A，B两点，定点G（4，0），求△ABG面积的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由椭圆的离心率为$\frac{1}{2}$，且椭圆上的点到右焦点F的最大距离为3，列出方程组求出a，b，由此能求出椭圆的方程．
（Ⅱ）设直线l的方程为x=my+1，联立$\left\{\begin{array}{l}{x=my+1}\\{3{x}^{2}+4{y}^{2}=12}\end{array}\right.$，得：（3m²+4）y²+6my-9=0，由此利用韦达定理、弦长公式、函数性质，结合已知条件能求出△ABG面积的最大值．

解答 解：（Ⅰ）∵椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{1}{2}$，且椭圆上的点到右焦点F的最大距离为3，
∴由题意得$\left\{\begin{array}{l}{e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}}\\{a+c=3}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得c=1，a=2，b=$\sqrt{3}$．
∴椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．
（Ⅱ）设直线l的方程为x=my+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
联立$\left\{\begin{array}{l}{x=my+1}\\{3{x}^{2}+4{y}^{2}=12}\end{array}\right.$，得：（3m²+4）y²+6my-9=0，
∴${y}_{1}+{y}_{2}=\frac{-6m}{3{m}^{2}+4}$，${y}_{1}{y}_{2}=\frac{-9}{3{m}^{2}+4}$．
S_△ABG=$\frac{1}{2}×3|{y}_{2}-{y}_{1}|$=$\frac{3}{2}$$\sqrt{（{y}_{2}+{y}_{1}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=18$\sqrt{\frac{{m}^{2}+1}{（3{m}^{2}+4）^{2}}}$．
令μ=m²+1，（μ≥1），则$\frac{{m}^{2}+1}{（3{m}^{2}+4）^{2}}$=$\frac{μ}{（3μ+1）^{2}}$=$\frac{1}{9μ+\frac{1}{μ}+6}$．
∵9$μ+\frac{1}{μ}$在[1，+∞）上是增函数，∴9$μ+\frac{1}{μ}$的最小值为10．
∴S_△ABG≤$\frac{9}{2}$．
∴△ABG面积的最大值为$\frac{9}{2}$．

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查三角形面积的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质、韦达定理、弦长公式的合理运用．