Question

11．已知$\overrightarrow{a}$=（sinx，（m-$\frac{3}{8}$）sinx），$\overrightarrow{b}$=（sin3x，8sinx）且f（x）=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$，求函数y=f（x）的最大值g（m），并解不等式g（m）＜5-|m-1|

Answer 1

分析 根据两角和的正弦公式和二倍角的正余弦公式即可求得sin3x=4sinxcos²x-sinx，这样进行向量数量积的坐标运算便可得出f（x）=-4（sin²x-m）²+4m²，可看出0≤sin²x≤1，从而为求f（x）的最大值需讨论m，进而便可得出f（x）的最大值$g（m）=\left\{\begin{array}{l}{0}&{m＜0}\\{4{m}^{2}}&{0≤m≤1}\\{8m-4}&{m＞1}\end{array}\right.$，这样在g（m）的每段函数上解g（m）＜5-|m-1|，所得m的范围再求并集即为原不等式的解集．

解答 解：f（x）=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=sinxsin3x+（8m-3）si{n}^{2}x$
=sinx（sinxcos2x+cosxsin2x）+（8m-3）sin²x
=sinx（2sinxcos²x-sinx+2sinxcos²x）+（8m-3）sin²x
=4sin²xcos²x-4sin²x+8msin²x
=-4sin⁴x+8msin²x
=-4（sin²x-m）²+4m²；
∴0≤m≤1时，sin²x=m时，f（x）取最大值4m²；
m＜0时，sin²x=0时，f（x）取最大值0；
m＞1时，sin²x=1时，f（x）取最大值8m-4；
∴$g（m）=\left\{\begin{array}{l}{0}&{m＜0}\\{4{m}^{2}}&{0≤m≤1}\\{8m-4}&{m＞1}\end{array}\right.$；
∴①m＜0时，由g（m）＜5-|m-1|得，0＜5-（1-m）；
∴-4＜m＜0；
②0≤m≤1时，由g（m）＜5-|m-1|得，4m²＜5-（1-m）；
解得$\frac{1-\sqrt{65}}{8}＜m＜\frac{1+\sqrt{65}}{8}$；
∴0≤m≤1；
③m＞1时，由g（m）＜5-|m-1|得，8m-4＜5-（m-1）；
∴$1＜m＜\frac{10}{9}$；
∴综上得，不等式g（m）＜5-|m-1|的解集为$（-4，\frac{10}{9}）$．

点评 考查两角和的正弦公式，以及二倍角的正余弦公式，sin²x+cos²x=1，配方法求二次式子的最大值，正弦函数的值域，对于分段函数g（m），解不等式g（m）＜5-|m-1|的方法．