Question

6．设F₁，F₂分别是双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左右焦点．
（1）当a=2b，点P在双曲线上，且$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=0，|$\overrightarrow{P{F}_{1}}$|-|$\overrightarrow{P{F}_{2}}$|=2时，求双曲线方程．
（2）已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1具有如下性质，若x=t交双曲线于P，Q，A₁，A₂为双曲线顶点，则A₁P，A₂Q交点的轨迹是椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1．
试对椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1写出具有类似特征的性质，并予以证明．

Answer 1

分析 （1）运用双曲线的定义，可得a=1，由a=2b，可得b，即可得到所求双曲线的方程；
（2）类似的性质：椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1具有如下性质，若x=t交椭圆于P，Q，A₁，A₂为椭圆左、右顶点，则A₁P，A₂Q交点的轨迹是双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1．设A₁（-a，0），A₂（a，0），令x=t，代入椭圆方程，求得交点P，Q，求得直线A₁P，A₂Q的方程，消去t，相乘即可得到所求轨迹方程．

解答 解：（1）由双曲线的定义可得
|$\overrightarrow{P{F}_{1}}$|-|$\overrightarrow{P{F}_{2}}$|=2，即2a=2，可得a=1，
又a=2b，即b=$\frac{1}{2}$，
可得双曲线的方程为x²-4y²=1；
（2）类似的性质：椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1具有如下性质，
若x=t交椭圆于P，Q，A₁，A₂为椭圆左、右顶点，
则A₁P，A₂Q交点的轨迹是双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1．
证明：设A₁（-a，0），A₂（a，0），
令x=t，代入椭圆方程，可得y=±b$\sqrt{1-\frac{{t}^{2}}{{a}^{2}}}$，
可得P（t，b$\sqrt{1-\frac{{t}^{2}}{{a}^{2}}}$），Q（t，-b$\sqrt{1-\frac{{t}^{2}}{{a}^{2}}}$），
直线A₁P的方程为y=$\frac{b\sqrt{1-\frac{{t}^{2}}{{a}^{2}}}}{t+a}$（x+a），①
直线A₂Q的方程为y=$\frac{b\sqrt{1-\frac{{t}^{2}}{{a}^{2}}}}{a-t}$（x-a），②
由①②两边平方相乘可得，
y²=$\frac{{b}^{2}（1-\frac{{t}^{2}}{{a}^{2}}）}{{a}^{2}-{t}^{2}}$（x²-a²），
即为y²=$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$（x²-a²），
即有交点的轨迹方程为双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1．

点评 本题考查双曲线的方程的求法，注意运用双曲线的定义，考查轨迹方程的求法，注意运用联立直线方程消去参数方程，考查化简整理的运算能力，属于中档题．