Question

16．如图，已知在等腰梯形ABCD中，AB=4，AB∥CD，∠BAD=45°，E，F，G分别是AB，BC，CD的中点，若$\overrightarrow{EF}$在$\overrightarrow{AG}$方向上的投影为$\frac{7}{10}\sqrt{4+\frac{1}{2}A{D^2}}$，则$\frac{{|\overrightarrow{AB}|}}{{|\overrightarrow{CD}|}}$=（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 由题意建立平面直角坐标系，从而利用平面向量的坐标表示化简即可．

解答 解：建立如右图所示的平面直角坐标系，

∵，∠BAD=45°，∴设D（x，x），（x＞0），
则C（4-x，x），G（2，x），E（2，0），F（$\frac{8-x}{2}$，$\frac{x}{2}$），
故$\overrightarrow{EF}$=（2-$\frac{x}{2}$，$\frac{x}{2}$），
所以$\overrightarrow{EF}$在$\overrightarrow{AG}$方向上的投影为
$\frac{\overrightarrow{EF}•\overrightarrow{AG}}{|\overrightarrow{AG}|}$=$\frac{2（2-\frac{x}{2}）+x\frac{x}{2}}{\sqrt{4+{x}^{2}}}$=$\frac{7}{10}\sqrt{4+\frac{1}{2}A{D^2}}$，
即$\frac{2（2-\frac{x}{2}）+x\frac{x}{2}}{\sqrt{4+{x}^{2}}}$=$\frac{7}{10}$$\sqrt{4+\frac{1}{2}（{x}^{2}+{x}^{2}）}$，
解得，x=1；
故CD=4-2=2，
故$\frac{{|\overrightarrow{AB}|}}{{|\overrightarrow{CD}|}}$=2，
故选：B．

点评 本题考查了平面向量的坐标运算、平面向量的投影等基础知识，同时考查了坐标法、方程思想的应用．