Question

5．如图，在边长为2的正方形ABCD中，点Q边CD上一个动点，$\overrightarrow{CQ}$=λ$\overrightarrow{QD}$，点P为线段BQ（含端点）上一个动点，若λ=1，则$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PD}$的取值范围为[$\frac{4}{5}$，4]．

Answer 1

分析 建立坐标系，由题意利用坐标法求得$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PD}$=5${（k-\frac{4}{5}）}^{2}$+$\frac{4}{5}$，再利用二次函数的性质以及k∈[0，1]，求得它的范围．

解答 解：以AB所在直线为x轴，以AD 所在直线为y轴，
建立如图所示的坐标系，
可得A（0，0）、B（2，0）、C（2，2）、D（0，2），
当λ=1时，点Q为线段CD的中点，Q（1，2）．
由于点P（x，y）在线段BQ上，故$\overrightarrow{BP}$=k•$\overrightarrow{BQ}$，
即（x-2，y）=k（-1，2），k∈[0，1]，
即 x-2=-k，且y=2k．
∵$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PD}$=（-x，-y）•（-x，2-y）=x²-2y+y² 
=（2-k）²-4k+4k²=5k²-8k+4=5${（k-\frac{4}{5}）}^{2}$+$\frac{4}{5}$，
故当k=0时，$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PD}$取得最大值为4，当 k=$\frac{4}{5}$时，$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PD}$取得最小值为$\frac{4}{5}$，
故$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PD}$的范围是[$\frac{4}{5}$，4]，
故答案为：[$\frac{4}{5}$，4]．

点评 本题主要考查两个向量的数量积公式，两个向量坐标形式的运算法则的应用，二次函数的性质，属于中档题．