Question

11．已知椭圆C₁：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的离心率为$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，焦距为$4\sqrt{2}$，抛物线C₂：x²=2py（p＞0）的焦点F是椭圆C₁的顶点．
（Ⅰ）求C₁与C₂的标准方程；
（Ⅱ）C₁上不同于F的两点P，Q满足$\overrightarrow{FP}•\overrightarrow{FQ}=0$，且直线PQ与C₂相切，求△FPQ的面积．

Answer 1

分析 （I）设椭圆C₁的焦距为2c，依题意有$2c=4\sqrt{2}$，$\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，由此能求出椭圆C₁的标准方程；又抛物线C₂：x²=2py（p＞0）开口向上，故F是椭圆C₁的上顶点，由此能求出抛物线C₂的标准方程．
（II）设直线PQ的方程为y=kx+m，设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则$\overrightarrow{FP}=（{x_1}，{y_1}-2）$，$\overrightarrow{FQ}=（{x_2}，{y_2}-2）$，联立$\left\{\begin{array}{l}y=kx+m\\ \frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{4}=1\end{array}\right.$，得（3k²+1）x²+6kmx+3m²-12=0，由此利用根的判别式、韦达定理、弦长公式，结合已知条件能求出△FPQ的面积．

解答 解：（I）设椭圆C₁的焦距为2c，依题意有$2c=4\sqrt{2}$，$\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，
解得$a=2\sqrt{3}$，b=2，故椭圆C₁的标准方程为$\frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{4}=1$．…（3分）
又抛物线C₂：x²=2py（p＞0）开口向上，故F是椭圆C₁的上顶点，
∴F（0，2），∴p=4，
故抛物线C₂的标准方程为x²=8y．…（5分）
（II）由题意得直线PQ的斜率存在．设直线PQ的方程为y=kx+m，
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则$\overrightarrow{FP}=（{x_1}，{y_1}-2）$，$\overrightarrow{FQ}=（{x_2}，{y_2}-2）$，
∴$\overrightarrow{FP}•\overrightarrow{FQ}={x_1}{x_2}+{y_1}{y_2}-2（{y_1}+{y_2}）+4=0$，…（6分）
即$（1+{k^2}）{x_1}{x_2}+（km-2k）（{x_1}+{x_2}）+{m^2}-4m+4=0$（*）
联立$\left\{\begin{array}{l}y=kx+m\\ \frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{4}=1\end{array}\right.$，消去y整理得，（3k²+1）x²+6kmx+3m²-12=0（**）．
依题意，x₁，x₂是方程（**）的两根，△=144k²-12m²+48＞0，
∴${x_1}+{x_2}=\frac{-6km}{{3{k^2}+1}}$，${x_1}•{x_2}=\frac{{3{m^2}-12}}{{3{k^2}+1}}$，…（7分）
将x₁+x₂和x₁•x₂代入（*）得m²-m-2=0，
解得m=-1，（m=2不合题意，应舍去）．…（8分）
联立$\left\{\begin{array}{l}y=kx-1\\{x^2}=8y\end{array}\right.$，消去y整理得，x²-8kx+8=0，
令△'=64k²-32=0，解得${k^2}=\frac{1}{2}$．…（10分）
经检验，${k^2}=\frac{1}{2}$，m=-1符合要求．
此时，$|{x_1}-{x_2}|=\sqrt{{{（{x_1}+{x_2}）}^2}-4{x_1}{x_2}}=\sqrt{\frac{72}{25}-4（-\frac{18}{5}）}=\frac{{12\sqrt{3}}}{5}$，
∴${S_{△FPQ}}=\frac{1}{2}×3×|{x_1}-{x_2}|=\frac{{18\sqrt{3}}}{5}$．…（12分）

点评 本题考查椭圆标准方程的求法，考查三角形面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理、弦长公式、椭圆性质的合理运用．