Question

16．设函数f（x）=ax1nx+be（其中a，b∈R，e为自然对数的底数，e=2.71828…）曲线y=f（x）在点（e，f（e））处的切线方程为y=2x，g（x）=$\frac{2x}{{e}^{x}}$-$\frac{3}{e}$+e．
（1）求a，b；
（2）证明：对任意x₁，x₂∈（0，+∞），f（x₁）≥g（x₂）．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，求得切线的斜率和切点，由切线的方程，可得a，b的方程，解得a，b；
（2）分别求出f（x）、g（x）的导数，求得单调区间和极值、最值，得到f（x）的最小值不小于g（x）的最大值，即可得证．

解答 解：（1）函数f（x）=ax1nx+be的导数为f′（x）=a（1+lnx），
可得y=f（x）在点（e，f（e））处的切线斜率为2a，
由切线方程y=2x，可得2a=2，解得a=1．
由切点（e，e+be），可得e+be=2e，解得b=1；
（2）证明：函数f（x）的导数为f′（x）=1+lnx，
当x＞$\frac{1}{e}$时，f′（x）＞0，f（x）递增；
当0＜x＜$\frac{1}{e}$时，f′（x）＜0，f（x）递减．
即有x=$\frac{1}{e}$处f（x）取得最小值，且为e-$\frac{1}{e}$；
函数g（x）=$\frac{2x}{{e}^{x}}$-$\frac{3}{e}$+e的导数为g′（x）=$\frac{2（1-x）}{{e}^{x}}$，
当0＜x＜1时，g′（x）＞0，g（x）递增；
当x＞1时，g′（x）＜0，g（x）递减．
可得x=1处g（x）取得最大值，且为e-$\frac{1}{e}$．
综上可得f（x）≥e-$\frac{1}{e}$≥g（x），
即有对任意x₁，x₂∈（0，+∞），f（x₁）≥g（x₂）．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、极值和最值，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用转化思想，转化为求最值问题，考查运算能力，属于中档题．