Question

8．已知椭圆C₁：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）．双曲线C₂：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1的渐近线方程为x$±\sqrt{3}$y=0，则C₁与C₂的离心率之积为（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{15}}}{4}$
• B． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
• C． $\frac{{\sqrt{6}}}{5}$
• D． $\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$

Answer 1

分析 由已知得a=$\sqrt{3}$k，b=k，k＞0，从而得到椭圆C₁的离心率e₁=$\frac{\sqrt{3{k}^{2}-{k}^{2}}}{\sqrt{3}k}$=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$，双曲线C₂的离心率e₂=$\frac{\sqrt{3{k}^{2}+{k}^{2}}}{\sqrt{3}k}$=$\frac{2}{\sqrt{3}}$，由此能求出C₁与C₂的离心率之积．

解答 解：∵椭圆C₁：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0），双曲线C₂：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1的渐近线方程为x$±\sqrt{3}$y=0，
∴a=$\sqrt{3}$k，b=k，k＞0，
∴椭圆C₁：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的离心率e₁=$\frac{\sqrt{3{k}^{2}-{k}^{2}}}{\sqrt{3}k}$=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$，
双曲线C₂：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1的离心率e₂=$\frac{\sqrt{3{k}^{2}+{k}^{2}}}{\sqrt{3}k}$=$\frac{2}{\sqrt{3}}$，
∴C₁与C₂的离心率之积e₁e₂=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}×\frac{2}{\sqrt{3}}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．
故选：D．

点评 本题考查双曲线的离心率和椭圆的离心率之积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆和双曲线的简章性质的合理运用．