Question

17．已知椭圆$E：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$经过点$（{2\sqrt{2}，2}）$，且离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，F₁，F₂是椭圆E的左，右焦点
（1）求椭圆E的方程；
（2）若点A，B是椭圆E上关于y轴对称两点（A，B不是长轴的端点），点P是椭圆E上异于A，B的一点，且直线PA，PB分别交y轴于点M，N，求证：直线MF₁与直线NF₂的交点G在定圆上．

Answer 1

分析 （1）由椭圆经过点$（{2\sqrt{2}，2}）$，且离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，列出方程组求出a，b，由此能求出椭圆C的方程．
（2）设B（x₀，y₀），P（x₁，y₁），则A（-x₀，y₀），直线PA的方程为$y-{y_1}=\frac{{{y_1}-{y_0}}}{{{x_1}+{x_0}}}（{x-{x_1}}）$，从而$M（{0，\frac{{{x_1}{y_0}+{x_0}{y_1}}}{{{x_1}+{x_0}}}}）$，同理得$N（{0，\frac{{{x_1}{y_0}-{x_0}{y_1}}}{{{x_1}-{x_0}}}}）$，由此能证明直线F₁M与直线F₂N交于点G在以F₁F₂为直径的圆上．

解答 解：（1）∵椭圆$E：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$经过点$（{2\sqrt{2}，2}）$，且离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
∴由条件得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}}\\{\frac{8}{{a}^{2}}+\frac{4}{{b}^{2}}=1}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，
解得$a=4，b=c=2\sqrt{2}$，
∴椭圆C的方程$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{8}=1$．…（5分）
证明：（2）设B（x₀，y₀），P（x₁，y₁），则A（-x₀，y₀）
直线PA的方程为$y-{y_1}=\frac{{{y_1}-{y_0}}}{{{x_1}+{x_0}}}（{x-{x_1}}）$，令x=0，得$y=\frac{{{x_1}{y_0}+{x_0}{y_1}}}{{{x_1}+{x_0}}}$
故$M（{0，\frac{{{x_1}{y_0}+{x_0}{y_1}}}{{{x_1}+{x_0}}}}）$，
同理可得$N（{0，\frac{{{x_1}{y_0}-{x_0}{y_1}}}{{{x_1}-{x_0}}}}）$，
$\overrightarrow{{F_1}M}=（{2\sqrt{2}，\frac{{{x_1}{y_0}+{x_0}{y_1}}}{{{x_1}+{x_0}}}}），\overrightarrow{{F_2}N}=（{-2\sqrt{2}，\frac{{{x_1}{y_0}-{x_0}{y_1}}}{{{x_1}-{x_0}}}}）$，
∴$\overrightarrow{{F_1}M}•\overrightarrow{{F_2}N}=（{2\sqrt{2}，\frac{{{x_1}{y_0}+{x_0}{y_1}}}{{{x_1}+{x_0}}}}）•（{-2\sqrt{2}，\frac{{{x_1}{y_0}-{x_0}{y_1}}}{{{x_1}-{x_0}}}}）=-8+\frac{{{x_1}^2{y_0}^2-{x_0}^2{y_1}^2}}{{{x_1}-{x_0}}}$
=$-8+\frac{{{x_1}^2×8（{1-\frac{{{x_0}^2}}{16}}）-{x_0}^2×8（{1-\frac{{{x_1}^2}}{16}}）}}{{{x_1}^2-{x_0}^2}}=-8+8=0$
∴F₁M⊥F₂N，∴直线F₁M与直线F₂N交于点G在以F₁F₂为直径的圆上． …（12分）

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查两直线的交点在圆上的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用．