Question

5．如图，A，B，C，D四点共圆，BC，AD的延长线交于点E，点F在BA的延长线上，
（1）若$\frac{EC}{EB}=\frac{1}{4}，\frac{ED}{EA}=\frac{1}{2}，求\frac{DC}{AB}$的值；
（2）若EF²=FA•FB，证明：EF∥CD．

Answer 1

分析 （1）推导出△EDC∽△EBA，由此能求出$\frac{DC}{AB}$的值．
（2）推导出△FAE∽△FEB，从而∠FEA=∠EBF，再由四点共圆，能证明EF∥CD．

解答 解：（1）∵A、B、C、D四点共圆，
∴∠ECD=∠EAB，∠EDC=∠B，
∴△EDC∽△EBA，∴$\frac{ED}{EB}=\frac{EC}{EA}=\frac{DC}{AB}$，
$\frac{ED}{EB}•\frac{EC}{EA}$=$（\frac{DC}{AB}）^{2}$=$\frac{1}{8}$，
∴$\frac{DC}{AB}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$．
证明：（2）∵EF²=FA•FB，∴$\frac{EF}{FA}=\frac{FB}{EF}$，
∵∠EFA=∠BFE，
∴△FAE∽△FEB，
∴∠FEA=∠EBF，
∵A、B、C、D四点共圆，∠EDC=∠EBF，
∴∠FEA=∠EDC，∴EF∥CD．

点评 本题考查两线段比值的求法，考查两直线平行的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的简单性质、三角形相似的性质的合理运用．