Question

10．椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\;\;（{a＞b＞0}）$的离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，左、右焦点分别为F₁、F₂，点$P（2，\sqrt{3}）$，且F₂在线段PF₁的中垂线上．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点A（2，0）且斜率为k的直线l与椭圆C交于D、E两点，点F₂为椭圆的右焦点，求证：直线DF₂与直线EF₂的斜率之和为定值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设椭圆C的焦距为2c，则F₂（c，0），由点P，且F₂在线段PF₁的中垂线上，$e=\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，求出a，b，由此能求出椭圆C的方程．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知F₂（1，0），设直线l：y=k（x-2），与椭圆联立，得（1+2k²）x²-8k²x+8k²-2=0，由此利用根的判别式、韦达定理，结合已知条件能证明直线DF₂与直线EF₂的斜率之和为定值0．

解答 （本小题满分12分）
解：（Ⅰ）设椭圆C的焦距为2c，则F₂（c，0）且a²=b²+c²，
由点P，且F₂在线段PF₁的中垂线上，得|PF₂|=|F₁F₂|，
则$\sqrt{{{（{2-c}）}^2}+{{（{\sqrt{3}}）}^2}}=2c$，解得c=1，…（2分）
又∵$e=\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，∴$a=\sqrt{2}$，所以b=1，
∴所求椭圆C的方程为$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$．…（4分）
证明：（Ⅱ）由（Ⅰ）可知F₂（1，0），
由题意可设直线l：y=k（x-2）与椭圆的交点D（x₁，y₁）、E（x₂，y₂）…（5分）
由$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{x^2}{2}+{y^2}=1}\\{y=k（{x-2}）}\end{array}}\right.$，得$\frac{x^2}{2}+{k^2}{（{x-2}）^2}=1$，
整理得（1+2k²）x²-8k²x+8k²-2=0，
则$△=8-16{k^2}＞0⇒{k^2}＜\frac{1}{2}$，且$\left\{{\begin{array}{l}{{x_1}+{x_2}=\frac{{8{k^2}}}{{1+2{k^2}}}}\\{{x_1}{x_2}=\frac{{8{k^2}-2}}{{1+2{k^2}}}}\end{array}}\right.$，…（8分）
${k_{D{F_2}}}+{k_{E{F_2}}}=\frac{y_1}{{{x_1}-1}}+\frac{y_2}{{{x_2}-1}}=\frac{{k（{{x_1}-2}）}}{{{x_1}-1}}+\frac{{k（{{x_2}-2}）}}{{{x_2}-1}}$
=$\frac{{k[{（{{x_1}-2}）（{{x_2}-1}）+（{{x_2}-2}）（{{x_1}-1}）}]}}{{（{{x_1}-1}）（{{x_2}-1}）}}$=$\frac{{k[{2{x_1}{x_2}-3（{{x_1}+{x_2}}）+4}]}}{{（{{x_1}-1}）（{{x_2}-1}）}}$…（9分）
∵2x₁x₂-3（x₁+x₂）+4=$2×\frac{{8{k^2}-2}}{{1+2{k^2}}}-3×\frac{{8{k^2}}}{{1+2{k^2}}}+4$
=$\frac{{（{16{k^2}-4}）-24{k^2}+4+8{k^2}}}{{1+2{k^2}}}=0$…（11分）
∴${k_{D{F_2}}}+{k_{E{F_2}}}=0$，
即直线DF₂与直线EF₂的斜率之和为定值0．…（12分）

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查直线的斜率之和为定值的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理、椭圆性质的合理运用．