Question

20．将函数y=f（x）的图象向左平移1个单位，再纵坐标不变，横坐标伸长到原来的$\frac{π}{3}$倍，然后再向上平移1个单位，得到函数y=$\sqrt{3}$sinx的图象．
（1）求y=f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（2）若h（x）=-$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$f（x）+2-$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$+m的定义域为[$\frac{9}{2}$，$\frac{15}{2}$]，值域为[{2，5}]，求m的值．
（3）若函数y=g（x）与y=f（x）的图象关于直线x=2对称，求当x∈[0，1]时，有t²-2t-3≤g（x）≤-$\frac{1}{2}（{t^2}-t-3）$恒成立，求t的范围．

Answer 1

分析 （1）由条件利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得f（x）的解析式，再根据正弦函数的周期性和单调性，得出结论．
（2）由条件利用正弦函数的定义域和值域求得h（x）的值域，可得m的值．
（3）求得当x∈[3，4]时，y=f（x）的最值，即为当x∈[0，1]时，y=g（x）的最值，再根据当x∈[0，1]时，有t²-2t-3≤g（x）≤-$\frac{1}{2}（{t^2}-t-3）$恒成立，求t的范围．

解答 解：（1）函数y=$\sqrt{3}$sinx的图象向下平移1个单位得y=$\sqrt{3}$sinx-1，
再将各点的横坐标缩短到原来的$\frac{3}{π}$倍得到y=$\sqrt{3}$sin$\frac{π}{3}$x-1，
然后向右移1个单位得y=f（x）=$\sqrt{3}$sin（$\frac{π}{3}$x-$\frac{π}{3}$）-1的图象．
所以函数y=f（x）的最小正周期为T=$\frac{2π}{\frac{π}{3}}$=6．
由2kπ-$\frac{π}{2}$≤$\frac{π}{3}$x-$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得 6k-$\frac{1}{2}$≤x≤6k+$\frac{5}{2}$，k∈Z，
∴y=f（x）的递增区间是[6k-$\frac{1}{2}$，6k+$\frac{5}{2}$]，k∈Z．
（2）h（x）=-$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$f（x）+2-$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$+m=$-2sin（\frac{π}{3}x-\frac{π}{3}）+m+2$，
∵$\frac{9}{2}$≤x≤$\frac{15}{2}$时，$\frac{3π}{2}≤\frac{π}{3}x≤\frac{5π}{2}$，$\frac{7π}{6}$≤$\frac{π}{3}x-\frac{π}{3}$≤$\frac{13π}{6}$，
∴-1≤$sin（\frac{π}{3}x-\frac{π}{3}）$≤$\frac{1}{2}$，∴1+m≤h（x）≤4+m．
∵h（x）的值域为[2，5]，∴$\left\{\begin{array}{l}{1+m=2}\\{4+m=5}\end{array}\right.$，求得m=1．
（3）因为函数y=g（x）与y=f（x）的图象关于直线x=2对称，
∴当x∈[0，1]时，y=g（x）的最值，即为当x∈[3，4]时，y=f（x）的最值．
∵x∈[3，4]时，$\frac{π}{3}$x-$\frac{π}{3}$∈[$\frac{2π}{3}$，π]，∴sin（$\frac{π}{3}$x-$\frac{π}{3}$）∈[0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$]，∴f（x）∈[-1，$\frac{1}{2}$]，
∴y=g（x）的最小值是-1，最大值为$\frac{1}{2}$．
再根据 t²-2t-3≤g（x）≤-$\frac{1}{2}（{t^2}-t-3）$恒成立，
可得t²-2t-3≤-1，且$\frac{1}{2}$（t²-t-3）≥$\frac{1}{2}$，∴1-$\sqrt{3}$≤t≤2，∴$t∈[1-\sqrt{3}，2]$．

点评 本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的周期性和单调性，正弦函数的定义域和值域，函数的恒成立问题，属于中档题．