Question

8．已知函数f（x）=ln$\frac{x}{2}$+$\frac{1}{2}$，g（x）=e^x-2，若g（m）=f（n）成立，则n-m的最小值为（　　）

• A． 1-ln2
• B． ln2
• C． 2$\sqrt{e}$-3
• D． e²-3

Answer 1

分析 根据g（m）=f（n）=t得到m，n的关系，利用消元法转化为关于t的函数，构造函数，求函数的导数，利用导数研究函数的最值即可得到结论．

解答 解：不妨设g（m）=f（n）=t，
∴e^m-2=ln$\frac{n}{2}$+$\frac{1}{2}$=t，（t＞0）
∴m-2=lnt，m=2+lnt，n=2•e${\;}^{t-\frac{1}{2}}$
故n-m=2•e${\;}^{t-\frac{1}{2}}$-2-lnt，（t＞0）
令h（t）=2•e${\;}^{t-\frac{1}{2}}$-2-lnt，（t＞0），
h′（t）=2•e${\;}^{t-\frac{1}{2}}$-$\frac{1}{t}$，易知h′（t）在（0，+∞）上是增函数，且h′（$\frac{1}{2}$）=0，
当t＞$\frac{1}{2}$时，h′（t）＞0，
当0＜t＜$\frac{1}{2}$时，h′（t）＜0，
即当t=$\frac{1}{2}$时，h（t）取得极小值同时也是最小值，
此时h（$\frac{1}{2}$）=2•e${\;}^{\frac{1}{2}-\frac{1}{2}}$-2-ln$\frac{1}{2}$=2-2+ln2=ln2，即n-m的最小值为ln2；
故选：B

点评 本题主要考查导数的应用，利用消元法进行转化，构造函数，求函数的导数，利用导数研究函数的极值和最值是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．