Question

16．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的右焦点为F，直线l：y=$\frac{1}{2}$x交椭圆于A、B两点，点F关于直线l的对称点E恰好在椭圆上，且|AE|+|BF|=6，则椭圆的短轴长为4．

Answer 1

分析 设F（c，0），左焦点为F'，运用垂直平分线的性质和椭圆的定义可得a=3，设E（m，n），由对称可得$\frac{n-0}{m-c}$=-2，$\frac{1}{2}$n=$\frac{m+c}{4}$，求出E的坐标，代入椭圆方程，化简整理，计算即可得到所求值．

解答 解：设F（c，0），左焦点为F'，由垂直平分线的性质可得|AE|=|AF|，
又|BF|=|AF'|，
由|AE|+|BF|=6，可得|AF|+|AF'|=2a=6，即a=3，
设E（m，n），由对称可得$\frac{n-0}{m-c}$=-2，$\frac{1}{2}$n=$\frac{m+c}{4}$，
解得m=$\frac{3}{5}$c，n=$\frac{4}{5}$c，
代入椭圆方程可得$\frac{9{c}^{2}}{25×9}$+$\frac{16{c}^{2}}{25{b}^{2}}$=1，
由c²=9-b²，化简可得b⁴+32b²-144=0，
解得b=2，
可得椭圆的短轴长为4．  故答案为：4．

点评 本题考查椭圆的短轴长的求法，注意运用椭圆的定义和点关于直线的对称的结论，考查化简整理的运算能力，属于中档题．