Question

7．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）过A（$\sqrt{2}$，0），离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，O为坐标原点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设P，Q，R椭圆上三点，OQ与PR交于M点，且$\overrightarrow{OQ}$=3$\overrightarrow{OM}$，当PR中点恰为点M时，判断△OPR的面积是否为常数，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）由椭圆过A（$\sqrt{2}$，0），离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，列出方程组，解得a=$\sqrt{2}$，b=c=1，由此能求出椭圆C的方程．
（2）若Q是椭圆的右顶点（左顶点一样），则Q（$\sqrt{2}$，0），△OPR的面积为$\frac{4}{9}$；若Q不是椭圆的左、右顶点，设PR：y=kx+m（m≠0），由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=2}\end{array}\right.$，得（2k²+1）x²+（2k²+1）x²+4kmx+2m²-2=0，由此利用韦达定理、中点坐标公式、弦长公式，点到直线距离公式能求出△OPR的面积为常数$\frac{4}{9}$．

解答 解：（1）∵椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）过A（$\sqrt{2}$，0），离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，O为坐标原点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=\sqrt{2}}\\{e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a=$\sqrt{2}$，b=c=1，
∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$．
（2）①若Q是椭圆的右顶点（左顶点一样），则Q（$\sqrt{2}$，0），
∵$\overrightarrow{OQ}$=3$\overrightarrow{OM}$，M在线段OQ上，∴M（$\frac{\sqrt{2}}{3}$，0），|PR|=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$，
∴△OPR的面积S_△OPR=$\frac{1}{2}×\frac{4\sqrt{2}}{3}×\frac{\sqrt{2}}{3}$=$\frac{4}{9}$．
②若Q不是椭圆的左、右顶点，设PR：y=kx+m（m≠0），A（x₁，y₁），C（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=2}\end{array}\right.$，得（2k²+1）x²+（2k²+1）x²+4kmx+2m²-2=0，
${{x}_{1}}^{\;}+{{x}_{2}}^{\;}=-\frac{4km}{2{k}^{2}+1}$，x₁x₂=$\frac{2{m}^{2}-2}{2{k}^{2}+1}$，
PR的中点M（-$\frac{2km}{2{k}^{2}+1}$，$\frac{m}{2{k}^{2}+1}$），
Q（-$\frac{6km}{2{k}^{2}+1}$，$\frac{3m}{2{k}^{2}+1}$），代入椭圆方程，化简得2k²+1=9m²．
|PR|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{2\sqrt{2}•\sqrt{1+{k}^{2}}•\sqrt{2{k}^{2}+1-{m}^{2}}}{2{k}^{2}+1}$=$\frac{8\sqrt{1+{k}^{2}}}{9|m|}$．
∵点O到PR的距离d=$\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
∴△OPR的面积S_△OPR=$\frac{1}{2}|PR|$•d=$\frac{1}{2}×\frac{8\sqrt{1+{k}^{2}}}{9|m|}$×$\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\frac{4}{9}$．
综上，△OPR面积为常数$\frac{4}{9}$．

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查三角形面积是否为常数的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意韦达定理、中点坐标公式、弦长公式，点到直线距离公式的合理运用．