Question

2．设椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的右焦点为F，过F点的直线l与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为$\frac{π}{3}$，|AF|=2|FB|．
（Ⅰ）求椭圆C的离心率；
（Ⅱ）若|AF|=$\frac{5}{2}$，求椭圆C的方程；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，D为椭圆C上一点，当△ABD面积取得最大值时，求D点的坐标．

Answer 1

分析 （I）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），y₁＜0，y₂＞0，由|AF|=2|FB|，可得：-y₁=2y₂．设直线l的方程为：y=$\sqrt{3}$（x-c），其中c=$\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$．直线方程与椭圆方程联立化为：（3a²+b²）y²+2$\sqrt{3}$b²cy-3b⁴=0，分别解得y₁，y₂，即可得出$e=\frac{c}{a}$．
（II）由|AF|=$\frac{5}{2}$，|AF|=2|FB|．可得|AB|=|AF|+|FB|=$\frac{15}{4}$，y₂-y₁=|AB|$sin\frac{π}{3}$=$\frac{4\sqrt{3}a{b}^{2}}{3{a}^{2}+{b}^{2}}$，又$\frac{c}{a}=\frac{2}{3}$，b²=a²-c²，解得a，b，c，即可得出椭圆C的方程．
（III）当D点在平行于直线l的椭圆的切线上的切点处时，△ABD的面积最大，设切线方程为y=$\sqrt{3}$x+t，可得32x²+18$\sqrt{3}$tx+9（t²-5）=0，令△=0，解得t，即可得出x．

解答 解：（I）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），y₁＜0，y₂＞0，∵|AF|=2|FB|．
-y₁=2y₂．设直线l的方程为：y=$\sqrt{3}$（x-c），其中c=$\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=\sqrt{3}（x-c）}\\{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$，化为：（3a²+b²）y²+2$\sqrt{3}$b²cy-3b⁴=0，
解得y=$\frac{-2\sqrt{3}{b}^{2}±\sqrt{1′2{b}^{4}{c}^{2}+12{b}^{4}（3{a}^{2}+{b}^{2}）}}{2（3{a}^{2}+{b}^{2}）}$=$\frac{-\sqrt{3}{b}^{2}c±2\sqrt{3}a{b}^{2}}{3{a}^{2}+{b}^{2}}$，
y₁=$\frac{-\sqrt{3}{b}^{2}（c+2a）}{3{a}^{2}+{b}^{2}}$，y₂=$\frac{-\sqrt{3}{b}^{2}（c-2a）}{3{a}^{2}+{b}^{2}}$，
∴-$\frac{-\sqrt{3}{b}^{2}（c+2a）}{3{a}^{2}+{b}^{2}}$=2×$\frac{-\sqrt{3}{b}^{2}（c-2a）}{3{a}^{2}+{b}^{2}}$，
∴$e=\frac{c}{a}$=$\frac{2}{3}$．
（II）∵|AF|=$\frac{5}{2}$，|AF|=2|FB|．∴|AB|=|AF|+|FB|=$\frac{5}{2}+\frac{5}{4}$=$\frac{15}{4}$，
y₂-y₁=|AB|$sin\frac{π}{3}$=$\frac{15}{4}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{15\sqrt{3}}{8}$=$\frac{4\sqrt{3}a{b}^{2}}{3{a}^{2}+{b}^{2}}$，
又$\frac{c}{a}=\frac{2}{3}$，b²=a²-c²，解得a=3，b=$\sqrt{5}$，c=2．
∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{5}$=1．
（III）当D点在平行于直线l的椭圆的切线上的切点处时，△ABD的面积最大，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\sqrt{3}x+t（t＞0）}\\{\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{5}=1}\end{array}\right.$，可得32x²+18$\sqrt{3}$tx+9（t²-5）=0，
令△=$（18\sqrt{3}t）^{2}$-4×32×9（t²-5）=0，解得t=4$\sqrt{2}$．
解得x=$-\frac{9\sqrt{6}}{8}$，y=$\frac{5\sqrt{2}}{8}$，∴D$（-\frac{9\sqrt{6}}{8}，\frac{5\sqrt{2}}{8}）$．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交弦长问题、三角形面积计算公式、直线与椭圆相切问题，考查了推理能力与计算能力，属于难题．