Question

13．椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的右顶点为A，经过原点的直线l交椭圆C于P、Q两点，若|PQ|=a，AP⊥PQ，则椭圆C的离心率为$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

Answer 1

分析 设点P在第一象限，由对称性可得|OP|=$\frac{|PQ|}{2}$=$\frac{a}{2}$，推导出∠POA=60°，P（$\frac{a}{4}，\frac{\sqrt{3}a}{4}$），由此能求出椭圆的离心率．

解答 解：不妨设点P在第一象限，由对称性可得|OP|=$\frac{|PQ|}{2}$=$\frac{a}{2}$，
∵AP⊥PQ，在Rt△POA中，cos∠POA=$\frac{|OP|}{|OA|}$=$\frac{1}{2}$，
∴∠POA=60°，∴P（$\frac{a}{4}，\frac{\sqrt{3}a}{4}$），
代入椭圆方程得：$\frac{{a}^{2}}{16{a}^{2}}+\frac{3{a}^{2}}{16{b}^{2}}$=1，
∴a²=5b²=5（a²-c²），整理得2a=$\sqrt{5}$c，
∴离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
故答案为：$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查椭圆的离心率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用．