Question

9．已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．
（1）若$\frac{a}{cosA}$=$\frac{b}{cosB}$，且sin²A（2-cosC）=cos²B+$\frac{1}{2}$，求角C的大小；
（2）若△ABC为锐角三角形，且A=$\frac{π}{4}$，a=2，求△ABC面积的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理化简$\frac{a}{cosA}=\frac{b}{cosB}$可得tanA=tanB，于是C=π-2A，代入sin²A（2-cosC）=cos²B+$\frac{1}{2}$化简可求得A；
（2）利用正弦定理用B表示出b，c，得到面积S关于B的函数，求出B的范围，得出S的范围．

解答 解：（1）∵$\frac{a}{cosA}=\frac{b}{cosB}$，$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}$，
∴tanA=tanB，
∴A=B．
∴C=π-2A．
∵sin²A（2-cosC）=cos²B+$\frac{1}{2}$，
∴sin²A（2+cos2A）=cos²A+$\frac{1}{2}$，
即（1-cos²A）（2cos²A+1）=cos²A+$\frac{1}{2}$，
解得cos²A=$\frac{1}{2}$，
∵A+B+C=π，A=B，∴A$＜\frac{π}{2}$，
∴cosA=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴A=$\frac{π}{4}$，
C=π-2A=$\frac{π}{2}$．
（2）由正弦定理得$\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=\frac{a}{sinA}=2\sqrt{2}$，
∴b=2$\sqrt{2}$sinB，c=2$\sqrt{2}$sinC=2$\sqrt{2}$sin（$\frac{3π}{4}-B$）=2sinB+2cosB．
∴S=$\frac{1}{2}bcsinA$=2sin²B+2sinBcosB=sin2B-cos2B+1=$\sqrt{2}$sin（2B-$\frac{π}{4}$）+1．
∵△ABC为锐角三角形，
∴$\left\{\begin{array}{l}{0＜B＜\frac{π}{2}}\\{0＜\frac{3π}{4}-B＜\frac{π}{2}}\end{array}\right.$，
∴$\frac{π}{4}＜B＜\frac{π}{2}$．
∴$\frac{π}{4}$＜2B-$\frac{π}{4}$＜$\frac{3π}{4}$，
∴2＜$\sqrt{2}$sin（2B-$\frac{π}{4}$）≤1+$\sqrt{2}$．
∴△ABC面积的取值范围是（2，1+$\sqrt{2}$]．

点评 本题考查了正弦定理，三角函数的恒等变换，正弦函数的图象与性质，属于中档题．