Question

17．已知等比数列{a_n}中，a₂=2，又a₂，a₃+1，a₄成等差数列，数列{b_n}的前n项和为S_n，且$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，则a₈+b₈=（　　）

• A． 311
• B． 272
• C． 144
• D． 80

Answer 1

分析 由题意可得公比q的方程，解方程可得a₈，再由前n项和与通项公式的关系可得b₈，相加可得．

解答 解：∵等比数列{a_n}中，a₂=2，又a₂，a₃+1，a₄成等差数列，
∴2（a₃+1）=a₂+a₄，故2（2q+1）=2+2q²，
解方程可得公比q=2，故a₈=2q⁶=128；
又∵数列{b_n}的前n项和为S_n，且$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
∴$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n+1-n}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n（n+1）}$，∴S_n=n（n+1），
∴b₈=S₈-S₇=72-56=16，
∴a₈+b₈=128+16=144，
故选：C．

点评 本题考查等比数列的通项公式，涉及前n项和与通项公式的关系，属基础题．