Question

5．定义：若一个正整数表示为两个连续偶数的平方差，那么这个正整数称为“神秘数”，例如12=4²-2²，12就是“神秘数”．（1）设“神秘数”构成数列{a_n}，求数列{a_n}的通项公式；
（2）在区间[1，200]内求所有“神秘数”之和．

Answer 1

分析 （1）根据题意，设两个连续偶数为2n+2和2n，根据题意，计算其和平数可得（2n+2）²-（2n）²=4（2n+1），故和平数的特征是4的奇数倍，{a_n}的通项公式，
a_n=4（2n+1）；
（2）介于1到200之间的所有“神秘数”中，最小的为：2²-0²=4，最大的为：50²-48²=196，将它们全部列出不难求出他们的和．

解答 解：（1）根据题意，设两个连续偶数为2n+2和2n，根据题意，计算其和平数可得（2n+2）²-（2n）²=4（2n+1），
a_n=4（2n+1）；
（2）介于1到200之间的所有“神秘数”之和，
S=（2²-0²）+（4²-2²）+（6²-4²）+…+（50²-48²）
=50²
=2500，
故答案为：2500．

点评 本题考查的知识点是数列的求各，根据“神秘数”的定义，我们不难将介于1到200之间的所有“神秘数”都列举出来，属于中档题．