Question

7．对于函数f（x），若对于任意的a，b．c∈R，f（a），f（b），f（c）为某一三角形的三边长，则称f（x）为“三角形函数”．已知函数f（x）=$\frac{sinx+m}{sinx+2}$是“三角形函数”，则实数m的取值范围是（$\frac{7}{5}$，5）．

Answer 1

分析 根据“三角形函数”的定义，判断函数的单调性，转化为求f（x）_max-f（x）_min＜f（x）_min即可，利用换元法结合分式函数的单调性的性质进行讨论求解即可．

解答 解：f（x）=$\frac{sinx+m}{sinx+2}$=$\frac{sinx+2+m-2}{sinx+2}$=1+$\frac{m-2}{sinx+2}$，
若m=2，则f（x）=1，此时f（x）构成边长为1的等边三角形，满足条件，
设t=sinx，则-1≤t≤1，
则函数f（x）等价为g（t）=1+$\frac{m-2}{t+2}$，
若m-2＞0即m＞2，此时函数g（t）在-1≤t≤1上是减函数，
则函数的最大值为g（-1）=1+m-2=m-1，最小值为g（1）=1+$\frac{m-2}{3}$=$\frac{m+1}{3}$，
若f（x）=$\frac{sinx+m}{sinx+2}$是“三角形函数”，
则满足g（x）_max-g（x）_min＜g（x）_min即可，
即m-1-$\frac{m+1}{3}$＜$\frac{m+1}{3}$，
整理得m＜5，此时2＜m＜5，
若m-2＜0即m＜2，此时函数g（t）在-1≤t≤1上是增函数，
则函数的最小值为g（-1）=1+m-2=m-1，最大值为g（1）=1+$\frac{m-2}{3}$=$\frac{m+1}{3}$，
若f（x）=$\frac{sinx+m}{sinx+2}$是“三角形函数”，
则满足g（x）_max-g（x）_min＜g（x）_min即可，
即$\frac{m+1}{3}$-（m-1）＜m-1，
整理得m＞$\frac{7}{5}$，此时$\frac{7}{5}$＜m＜2，
综上$\frac{7}{5}$＜m＜5，
故答案为：（$\frac{7}{5}$，5）

点评 本题主要考查函数与方程的应用，根据“三角形函数”的定义，转化为求f（x）_max-f（x）_min＜f（x）_min，是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．