Question

12．在数列{a_n}中，a₁=2．a₂=1，$\frac{2}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{{a}_{n+1}}$+$\frac{1}{{a}_{n-1}}$（n≥2），则数列{a_n}的通项公式为a_n=$\frac{2}{n}$．

Answer 1

分析 由已知递推式可得数列{$\frac{1}{{a}_{n+1}}-\frac{1}{{a}_{n}}$}是常数列$\frac{1}{2}$，进一步得到数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是以$\frac{1}{2}$为首项，以$\frac{1}{2}$为公差的等差数列，由此求得数列{a_n}的通项公式．

解答 解：由$\frac{2}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{{a}_{n+1}}$+$\frac{1}{{a}_{n-1}}$（n≥2），得$\frac{1}{{a}_{n+1}}-\frac{1}{{a}_{n}}=\frac{1}{{a}_{n}}-\frac{1}{{a}_{n-1}}$（n≥2），
又a₁=2，a₂=1，得$\frac{1}{{a}_{2}}-\frac{1}{{a}_{1}}=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$，
∴数列{$\frac{1}{{a}_{n+1}}-\frac{1}{{a}_{n}}$}是常数列$\frac{1}{2}$，
即$\frac{1}{{a}_{n+1}}-\frac{1}{{a}_{n}}=\frac{1}{2}$，
则数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是以$\frac{1}{2}$为首项，以$\frac{1}{2}$为公差的等差数列，
则$\frac{1}{{a}_{n}}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}（n-1）=\frac{n}{2}$，
∴a_n=$\frac{2}{n}$．
故答案为：$\frac{2}{n}$．

点评 本题考查数列递推式，考查了等差关系的确定，训练了等差数列通项公式的求法，是中档题．