Question

3．已知f（x）=$\sqrt{3}$sinx•cosx+cos²x．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）在锐角△ABC的三个角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且f（C）=1，求$\frac{{{a^2}+{b^2}+{c^2}}}{ab}$的取值范围．

Answer 1

分析 （I）由三角函数公式化简可得f（x）=$\frac{1}{2}$+sin（2x+$\frac{π}{6}$），解$2kπ-\frac{π}{2}≤2x+\frac{π}{6}≤2kπ+\frac{π}{2}$可得单调递增区间；
（ II）可得$C=\frac{π}{3}$，由余弦定理得表达式，由锐角三角形可得$\frac{π}{6}＜A＜\frac{π}{2，}$再由正弦定理得$\frac{b}{a}$的范围，由函数的值域可得．

解答 解：（ I）由三角函数公式化简可得：
f（x）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{1}{2}$（1+cos2x）=$\frac{1}{2}$+sin（2x+$\frac{π}{6}$），
由$2kπ-\frac{π}{2}≤2x+\frac{π}{6}≤2kπ+\frac{π}{2}$可得$kπ-\frac{π}{3}≤x≤kπ+\frac{π}{6}$
∴函数f（x）的单调递增区间为$[{kπ-\frac{π}{3}，kπ+\frac{π}{6}}]，k∈Z$；
（ II）∵f（C）=$\frac{1}{2}$+sin（2x+$\frac{π}{6}$）=1，∴sin（2x+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，
∴$2C+\frac{π}{6}=2kπ+\frac{π}{6}$或$2C+\frac{π}{6}=2kπ+\frac{5π}{6}$，k∈Z，
∴结合三角形内角的范围可$C=\frac{π}{3}$，
由余弦定理得c²=a²+b²-ab，
∴$\frac{{{a^2}+{b^2}+{c^2}}}{ab}=\frac{{2（{a^2}+{b^2}）}}{ab}-1=2（\frac{b}{a}+\frac{a}{b}）-1$，
∵△ABC为锐角三角形，∴$\left\{\begin{array}{l}{0＜A＜\frac{π}{2}}\\{0＜\frac{2π}{3}-A＜\frac{π}{2}}\end{array}\right.$，
∴$\frac{π}{6}＜A＜\frac{π}{2，}$由正弦定理得$\frac{b}{a}=\frac{sinB}{sinA}=\frac{{sin（\frac{2}{3}π-A）}}{sinA}=\frac{{\sqrt{3}}}{2tanA}+\frac{1}{2}∈（{\frac{1}{2}，2}）$
∴$\frac{{{a^2}+{b^2}+{c^2}}}{ab}∈[{3，4}）$

点评 本题考查正余弦定理解三角形，涉及函数的值域和整体思想，属中档题．