Question

12．已知椭圆C₁：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的离心率为$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，焦距为$4\sqrt{2}$，抛物线C₂：x²=2py（p＞0）的焦点F是椭圆C₁的顶点．
（Ⅰ）求C₁与C₂的标准方程；
（Ⅱ）若C₂的切线交C₁于P，Q两点，且满足$\overrightarrow{FP}•\overrightarrow{FQ}=0$，求直线PQ的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设椭圆C₁的焦距为2c，求得c，运用椭圆的离心率公式，可得a，b，进而得到椭圆方程；求得椭圆的上顶点，可得抛物线的焦点，进而得到抛物线的方程；
（II）显然直线PQ的斜率存在．设直线PQ的方程为y=kx+m，设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），求得向量FP，FQ的坐标，运用向量的数量积的坐标表示，联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理，联立抛物线的方程，运用判别式为0，化简整理，计算即可得到k，m的值，进而得到所求直线方程．

解答 解：（Ⅰ）设椭圆C₁的焦距为2c，依题意有$2c=4\sqrt{2}$，$\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，
解得$a=2\sqrt{3}$，b=2，故椭圆C₁的标准方程为$\frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{4}=1$；
又抛物线C₂：x²=2py（p＞0）开口向上，故F是椭圆C₁的上顶点，
∴F（0，2），∴p=4，故物线C₂的标准方程为x²=8y．
（II）显然直线PQ的斜率存在．设直线PQ的方程为y=kx+m，
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则$\overrightarrow{FP}=（{x_1}，{y_1}-2）$，$\overrightarrow{FQ}=（{x_2}，{y_2}-2）$，
∴$\overrightarrow{FP}•\overrightarrow{FQ}={x_1}{x_2}+{y_1}{y_2}-2（{y_1}+{y_2}）+4=0$，
即$（1+{k^2}）{x_1}{x_2}+（km-2k）（{x_1}+{x_2}）+{m^2}-4m+4=0$（*），
联立$\left\{\begin{array}{l}y=kx+m\\ \frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{4}=1\end{array}\right.$，消去y整理得，（3k²+1）x²+6kmx+3m²-12=0（**）．
依题意，x₁，x₂是方程（**）的两根，△=144k²-12m²+48＞0，
∴${x_1}+{x_2}=\frac{-6km}{{3{k^2}+1}}$，${x_1}•{x_2}=\frac{{3{m^2}-12}}{{3{k^2}+1}}$，
将x₁+x₂和x₁•x₂代入（*）得m²-m-2=0，解得m=-1，（m=2不合题意，应舍去），
联立$\left\{\begin{array}{l}y=kx-1\\{x^2}=8y\end{array}\right.$，消去y整理得，x²-8kx+8=0，
令△'=64k²-32=0，解得${k^2}=\frac{1}{2}$，经检验${k^2}=\frac{1}{2}$，m=-1符合要求．
故直线PQ的方程为$y=±\frac{{\sqrt{2}}}{2}x-1$．

点评 本题考查椭圆和抛物线的方程的求法，注意运用离心率公式和焦点的坐标，考查直线方程的求法，注意运用直线方程和椭圆方程及抛物线方程联立，运用判别式和韦达定理，考查化简整理的运算能力，属于中档题．